ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 11: *. Свойства деревьев
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В дереве 100 вершин. Какое в нём может быть
а) наибольшее число концевых вершин
б) наименьшее число концевых вершин?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи вспомним основные свойства деревьев. Дерево — это связный граф без циклов. Важное свойство: если в дереве n вершин, то количество рёбер m равно n-1. Также сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер.
Шаг 1. Анализ структуры дерева и формула для концевых вершин
Обозначим:
- n=100 — общее число вершин;
- k — число концевых вершин (вершин степени 1);
- Остальные n-k вершин имеют степень не менее 2 (так как в дереве с более чем одной вершиной нет изолированных вершин).
Сумма степеней всех вершин равна 2m=2(n-1).
Запишем неравенство для суммы степеней. Минимальная сумма степеней достигается, когда все неконцевые вершины имеют минимально возможную степень, то есть 2. Тогда:
Сумма степеней ≥k·1+(n-k)·2Но мы знаем точное значение суммы степеней: 2(n-1). Следовательно:
2(n-1)≥k+2(n-k) 2n-2≥k+2n-2k 2n-2≥2n-k -2≥-kimpliesk≥2Это доказывает, что наименьшее число концевых вершин в любом дереве (с n>1) равно 2. Это соответствует «цепочке» или пути, где только две крайние вершины являются концевыми.
Шаг 2. Определение наибольшего числа концевых вершин
Чтобы максимизировать число концевых вершин k, нужно минимизировать вклад остальных вершин в сумму степеней, но при этом сохранить связность и отсутствие циклов. Однако проще рассмотреть предельный случай.
Максимальное число листьев достигается в так называемой «звезде». В звезде одна центральная вершина соединена со всеми остальными.
Пусть у нас есть 1 вершина высокой степени (центр) и n-1 вершин степени 1 (листья). Проверим, является ли такая структура деревом:
- Число вершин: 1+(n-1)=n.
- Число рёбер: n-1 (каждый лист соединён с центром одним ребром).
- Граф связен и ацикличен.
В таком дереве число концевых вершин равно n-1.
Может ли быть больше? Если бы было n концевых вершин, то каждая имела бы степень 1. Сумма степеней была бы n. Но сумма степеней должна быть чётной (2m), а также равна 2(n-1). При n=100, 2(99)=198≠100. Кроме того, дерево с n вершинами имеет n-1 ребро. Если все вершины степени 1, то сумма степеней n, откуда n=2(n-1)⇒n=2n-2⇒n=2. Для n=100 это невозможно. Значит, хотя бы одна вершина должна иметь степень больше 1. Следовательно, максимальное число вершин степени 1 равно n-1.
Шаг 3. Вычисление ответов для n=100
а) Наибольшее число концевых вершин:
Используем структуру «звезда». Одна вершина — центр, остальные — листья.
kmax=n-1=100-1=99Проверка: 1 вершина степени 99, 99 вершин степени 1. Сумма степеней: 99+99·1=198. Число рёбер: 198/2=99. Верно, так как n-1=99.
б) Наименьшее число концевых вершин:
Используем структуру «путь» (цепочка). Две крайние вершины — листья, остальные 98 вершин имеют степень 2.
kmin=2Проверка: 2 вершины степени 1, 98 вершин степени 2. Сумма степеней: 2·1+98·2=2+196=198. Число рёбер: 198/2=99. Верно.
а) 99
б) 2
В задаче используются базовые свойства деревьев: связь между числом вершин и рёбер (m=n-1) и теорема о сумме степеней. Максимум листьев достигается на звезде, минимум — на пути.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 11 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 11?
Краткий ответ: а) 99 б) 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 47. *. Свойства деревьев.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.