ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 13: Дерево случайного эксперимента

Условие требует ровно 3 цепи длины 2. Это означает, что дерево имеет два уровня разветвления, и в итоге получается 3 конечных исхода.

Простейший способ получить такое дерево:

• Первый уровень: От корня идут 3 ветви (назовём их событиями A_1,A_2,A₃).
• Второй уровень: Каждая из этих трёх ветвей не разветвляется дальше или разветвляется таким образом, что каждая даёт ровно одну цепь? Нет, длина цепи равна 2, значит, после первого выбора должен быть второй выбор.

Давайте скорректируем подход. Если длина цепи равна 2, то есть два шага. Пусть на первом шаге есть k вариантов, а на втором — m вариантов для каждого из первых. Тогда общее число цепей будет k·m. Нам нужно получить 3 цепи. Так как 3 — простое число, единственный вариант целочисленного разложения: 1·3 или 3·1.

Вариант решения:

1. На первом уровне от корня идёт одна ветвь (событие обязательно происходит, вероятность 1, но в комбинаторном дереве мы просто рисуем один узел). Или проще: пусть первый шаг имеет 1 исход, а второй шаг — 3 исхода. Тогда цепей будет 1·3=3, и их длина равна 2.
2. Альтернативный, более симметричный вариант: Первый шаг имеет 3 исхода (A_1,A_2,A₃). Второй шаг для каждого исхода имеет только 1 продолжение (например, событие «остаться» или завершение процесса с фиксированным результатом). Но обычно в задачах на деревья подразумевается, что каждый уровень содержит хотя бы две ветви, если это не тривиальный случай. Однако математически корректно построить дерево, где на первом уровне 1 ветвь, а на втором она разветвляется на 3.

Посмотрим на стандартное представление. Часто под «деревом» понимают структуру, где все листья находятся на одном уровне. Для пункта а):

Описание структуры для рисунка:

• Корень.
• От корня идёт одна ветвь к промежуточному узлу (или сразу три, если считать длину по числу рёбер?). В школьном курсе «длина цепи» часто совпадает с количеством испытаний. Если испытаний 2, то цепь состоит из двух событий.
• Пусть первое испытание имеет 1 возможный исход (тривиальное событие), а второе испытание имеет 3 возможных исхода. Тогда имеем 3 цепи вида (Исход_1, Исход_2a), (Исход_1, Исход_2b), (Исход_1, Исход_2c). Длина каждой цепи равна 2.

Более интересный вариант без тривиальных событий: невозможно получить ровно 3 цепи длины 2, если на каждом уровне минимум 2 ветви, так как минимальное число цепей было бы 2·2=4. Значит, одно из испытаний должно иметь 1 исход, либо структура несбалансирована (что редко требуется в простых задачах). Примем вариант: 1 ветвь на первом уровне, 3 ветви на втором.

Условие: 2 цепи длины 1 и 4 цепи длины 2.

Это означает, что эксперимент может закончиться после первого шага (получая цепи длины 1) или продолжиться до второго шага (получая цепи длины 2).

Разберём структуру:

1. Цепи длины 1: Это исходы, которые являются конечными уже после первого испытания. Пусть таких исходов 2. Обозначим их как A и B. Они «закрываются» на первом уровне.
2. Цепи длины 2: Это исходы, которые требуют второго испытания. Чтобы получить 4 такие цепи, нужно, чтобы оставшаяся часть первого уровня разветвлялась на втором уровне так, чтобы дать суммарно 4 конечных точки.

Как распределить ветви на первом уровне?

• Допустим, на первом уровне есть ветви, ведущие к концу (длины 1), и ветви, ведущие к продолжению.
• Пусть на первом уровне есть 3 основные ветви: X_1,X_2,X₃.
• Если X₁ и X₂ — это терминальные узлы (концы), то у нас уже есть 2 цепи длины 1. Это соответствует первой части условия.
• Тогда третья ветвь X₃ должна продолжаться. Чтобы получить 4 цепи длины 2, ветвь X₃ на втором уровне должна разветвиться на 4 исхода (Y_1,Y_2,Y_3,Y₄). Тогда цепи будут выглядеть как (X_3,Y₁), (X_3,Y₂), (X_3,Y₃), (X_3,Y₄). Их длина равна 2, и их количество равно 4.

Проверка:

• Цепи длины 1: (X₁), (X₂). Количество: 2. Верно.
• Цепи длины 2: (X_3,Y₁), (X_3,Y₂), (X_3,Y₃), (X_3,Y₄). Количество: 4. Верно.

Такое дерево является корректным примером.

а) Ровно 3 цепи длины 2:

Структура: Корень → Один узел → Три конечных узла. Либо, если требуется нетривиальность на каждом шаге, можно рассмотреть несимметричное дерево, но в рамках школьной программы чаще всего допускается наличие единичной вероятности или тривиального перехода. Наиболее простая интерпретация: первое испытание имеет 1 исход, второе — 3 исхода.

б) 2 цепи длины 1 и 4 цепи длины 2:

Структура: 1. На первом уровне от корня отходят 3 ветви. 2. Две из них (A и B) являются конечными (листьями). Это даёт 2 цепи длины 1. 3. Третья ветвь (C) продолжается на второй уровень, где она разветвляется на 4 конечные ветви (D_1,D_2,D_3,D₄). Это даёт 4 цепи длины 2 (CD_1,CD_2,CD_3,CD₄).