ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 190: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Светлана Крылова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику ADM, где точка M
а) середина стороны CD
б) делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C
в) делит отрезок CD в отношении m:n, считая от точки C.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Вероятность того, что случайная точка X, выбранная в квадрате ABCD, попадёт в некоторую область внутри него, равна отношению площади этой области к площади всего квадрата.
Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Тогда площадь квадрата равна Sкв =a2.
Шаг 1. Анализ треугольника ADM
Рассмотрим треугольник ADM. Его основанием можно считать сторону AD квадрата, длина которой равна a. Высота этого треугольника, опущенная из вершины M на прямую AD, равна расстоянию от точки M до стороны AD. Поскольку точка M лежит на стороне CD, а CDbotAD, то высота треугольника h равна длине отрезка DM (или проекции положения M на направление перпендикулярное AD, но проще: площадь треугольника с основанием AD и третьей вершиной M на прямой CD вычисляется как 1/2×AD×DM, так как угол D прямой).
Таким образом, площадь треугольника ADM равна: SADM=1/2×AD×DM=1/2×a×DM Вероятность попадания точки в треугольник ADM будет равна: P=SADM/Sкв =1/2a×DM/a2=DM/2a Нам нужно найти длину отрезка DM для каждого случая.
Шаг 2. Случай а) M — середина стороны CD
Если M — середина стороны CD, то отрезок DM составляет половину длины стороны CD. DM=1/2CD=1/2a Подставим это значение в формулу вероятности: Pa=DM/2a=1/2a/2a=1/4 Проверка: Площадь треугольника составляет четверть площади квадрата. Это логично, так как основание AD=a, высота a/2, площадь a2/4, а квадрат a2.
Шаг 3. Случай б) M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C
Условие «делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C» означает, что отношение длин отрезков CM:MD=1:2. Обозначим CM=x, тогда MD=2x. Вся сторона CD=CM+MD=x+2x=3x. Так как CD=a, то 3x=a→x=a/3. Нам нужна длина DM (она же MD): DM=2x=2a/3 Подставим в формулу вероятности: Pb=DM/2a=2a/3/2a=2a/3×2a=1/3 Проверка: Если бы точка делила сторону пополам, вероятность была бы 1/4. Здесь точка ближе к D? Нет, CM=1/3, MD=2/3. Точка M дальше от D, чем середина (2/3>1/2), значит высота больше, и вероятность должна быть больше 1/4. 1/3≠0.25, 1/3>0.25. Всё верно.
Шаг 4. Случай в) M делит отрезок CD в отношении m:n, считая от точки C
Аналогично предыдущему пункту, отношение CM:MD=m:n. Обозначим коэффициент пропорциональности за k. Тогда CM=mk, MD=nk. Длина всей стороны CD=CM+MD=mk+nk=k(m+n). Так как CD=a, то k=a/m+n. Нам нужна длина отрезка DM (он же MD): DM=nk=na/m+n Подставим в общую формулу вероятности P=DM/2a: Pc=na/m+n/2a=na/2a(m+n)=n/2(m+n) Проверка на частных случаях: - Если m=n=1 (середина), то P=1/2(1+1)=1/4. Совпадает с п. а). - Если m=1,n=2 (как в п. б), то P=2/2(1+2)=2/6=1/3. Совпадает с п. б).
а) 1/4
б) 1/3
в) n/2(m+n)
Задача решается через геометрическую вероятность. Ключевой момент — правильно определить длину основания или высоты треугольника ADM относительно стороны квадрата. В условии сказано 'считая от точки C', поэтому отношение m:n относится к отрезкам CM и MD соответственно. Для треугольника ADM с основанием AD высота равна DM. Формула вероятности сводится к DM / (2a).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 190 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 190?
Краткий ответ: а) 14 б) 13 в) n2(m+n).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 61. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.