ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 194: Выбор точки из отрезка и дуги окружности
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Буратино посадил в центре квадратного листа бумаги со стороной 22 см круглую клюксу радиусом 1 см. Затем он посадил ещё одну такую же клюксу, которая также целиком оказалась на листе. Найти вероятность того, что эти две клюксы не соприкасаются.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче мы будем использовать геометрическую вероятность. Суть метода заключается в том, что вероятность попадания точки в некоторую область пропорциональна площади этой области.
Шаг 1. Анализ условий размещения клюксы
Клюкса — это круг радиусом r=1 см. Чтобы клюкса целиком находилась на квадратном листе со стороной a=22 см, её центр не может находиться ближе чем на 1 см к границам листа.
Обозначим координаты центра первой клюксы как (x1,y1), а второй — как (x2,y2). Поскольку первая клюкса уже зафиксирована в центре листа, её центр имеет координаты (0,0) (если считать центр листа началом координат). Однако для решения задачи удобнее рассмотреть положение центра второй клюксы относительно центра первой .
Центр второй клюксы может находиться в любой точке допустимой области. Допустимая область для центра второй клюксы — это квадрат, уменьшенный на ширину радиуса с каждой стороны. То есть, если сторона исходного квадрата 22 см, то сторона квадрата возможных положений центра составляет 22-1-1=20 см.
Площадь всей возможной области для центра второй клюксы равна:
Sвсего =20·20=400 см²Шаг 2. Условие соприкосновения и невыгодная область
Две окружности (клюксы) соприкасаются или пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов. В нашем случае оба радиуса равны 1 см, значит, сумма радиусов равна 1+1=2 см.
Пусть центр первой клюксы находится в точке O. Центр второй клюксы обозначим точкой C. Если расстояние OC<2 см, то клюксы перекрываются или касаются друг друга. Нам нужно найти вероятность того, что они не соприкасаются, то есть расстояние OC>2 см.
Рассмотрим «выгодную» нам ситуацию (несоприкосновение) через дополнение: сначала найдём вероятность того, что клюксы соприкасаются или пересекаются . Это происходит, когда центр второй клюксы попадает в круг радиусом R=2 см с центром в точке O (центр первой клюксы).
Важно проверить, полностью ли этот круг радиусом 2 см лежит внутри допустимой области для центра второй клюксы. Допустимая область — квадрат 20×20 см с центром в O. Расстояние от центра O до границы этого квадрата равно 10 см. Так как 2<10, весь круг радиусом 2 см находится внутри допустимого квадрата. Значит, площадь «плохой» зоны (где клюксы соприкасаются) равна площади круга радиусом 2 см.
Sплохая =π·R2=π·22=4π см²Шаг 3. Вычисление вероятности
Вероятность того, что клюксы соприкасаются (Pкасание), равна отношению площади плохой зоны к площади всей допустимой зоны:
Pкасание =Sплохая/Sвсего =4π/400=π/100Искомая вероятность того, что клюксы не соприкасаются (Pне касание), является противоположным событием:
Pне касание =1-Pкасание =1-π/100Подставим приближённое значение числа β≈3,14:
Pне касание ≈1-3,14/100=1-0,0314=0,9686Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,969.
1 - π/100 \approx 0,969
Задача решается методом геометрической вероятности. Ключевой момент — определение пространства элементарных исходов. Так как первая клюкса зафиксирована в центре, случайным образом выбирается только положение центра второй клюксы. Область допустимых положений центра второй клюксы ограничена тем, что сама клюкса должна целиком лежать на листе. Это образует внутренний квадрат со стороной 22-2·1=20 см. Событие 'соприкосновение' наступает, если расстояние между центрами меньше суммы радиусов (1+1=2 см). Это соответствует попаданию центра второй клюксы в круг радиусом 2 см вокруг центра первой. Этот круг полностью лежит внутри допустимого квадрата. Вероятность соприкосновения равна отношению площадей круга и квадрата. Искомая вероятность — дополнение до единицы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 194 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 194?
Краткий ответ: 1 - 100 0,969.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 63. Выбор точки из отрезка и дуги окружности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.