ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 195: Выбор точки из отрезка и дуги окружности

Монета имеет диаметр d=2 см. Клетка шахматной доски — квадрат со стороной a=3 см.

Чтобы монета целиком поместилась внутри одной клетки, она не должна пересекать границы этой клетки. Это означает, что центр монеты должен находиться на определённом расстоянии от границ квадрата.

Радиус монеты равен r=d/2=2/2=1 см.

Если центр монеты находится ближе, чем на 1 см к любой из четырёх сторон клетки, то часть монеты выйдет за пределы клетки (или попадёт на соседнюю клетку). Следовательно, допустимая область для центра монеты — это внутренний квадрат, образованный отступом от каждой стороны исходного квадрата на величину радиуса r.

Всё пространство исходов (S_total):

Бросок монеты можно считать равновероятным попаданием её центра в любую точку клетки. Поскольку мы рассматриваем одну конкретную клетку как «ловушку» для центра, а доска состоит из одинаковых клеток, вероятность попадания центра в данную клетку пропорциональна площади этой клетки. Однако, чтобы монета осталась внутри этой клетки, центр должен попасть в подмножество этой клетки.

Площадь всей клетки: S_cell=a²=3²=9 см² .

Благоприятная область (S_fav):

Центр монеты должен находиться внутри квадрата со стороной b, где b=a-2r. Вычтем из стороны клетки два радиуса (по одному с каждой стороны).

Площадь благоприятной области для центра монеты:

Вероятность P того, что монета целиком поместится в клетке, равна отношению площади благоприятной области к площади всей клетки:

Логика проверки: если бы диаметр монеты был равен стороне клетки (2=3 — неверно, но гипотетически), то площадь благоприятной зоны была бы нулевой, так как центр должен быть точно в центре, а любое смещение выведет монету за край. В нашем случае d<a, значит, решение существует.

Размер безопасной зоны 1×1 см меньше размера клетки 3×3 см, что логично. Отношение площадей 1/9 является корректным ответом для геометрической вероятности при равномерном распределении центра монеты по клетке.