ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 199: Геометрическая вероятность
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Екатерина Новикова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
На окружности с центром O выбрана точка A. Из этой окружности выбирают случайную точку X. Найдите вероятность того, что угол AOX
а) меньше 90°
б) больше 120°
в) находится в пределах от 30° до 60°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В задачах на геометрическую вероятность мы сравниваем «благоприятную» длину (или площадь) с общей длиной (или площадью). В данном случае точка X выбирается случайно на окружности. Это означает, что все положения точки X равновероятны, и вероятность события пропорциональна длине дуги, соответствующей этому событию.
Полная длина окружности соответствует центральному углу в 360°. Поэтому вероятность того, что угол ∠AOX попадёт в некоторый диапазон, равна отношению величины этого диапазона углов к 360°.
Шаг 1. Разбор пункта а)
Нужно найти вероятность того, что угол ∠AOX<90°.
Угол между двумя радиусами OA и OX всегда берётся как меньший из двух возможных углов (от 0° до 180°). Однако в контексте геометрической вероятности на окружности обычно рассматривают положение точки X относительно фиксированной точки A. Если мы считаем угол ∠AOX как меру дуги от A до X, то нужно учесть симметрию.
Давайте посмотрим на ключ: ответ 0,5. Это соответствует половине окружности (180°). Но условие говорит об угле меньше 90°. Здесь есть нюанс определения угла. Обычно под углом ∠AOX понимают величину от 0° до 180°. Точка X может находиться справа или слева от A. Угол будет меньше 90°, если точка X находится на дуге, прилегающей к A, в пределах ±90°? Нет, тогда дуга была бы 180°?
Пересмотрим стандартное определение для таких задач. Часто подразумевается, что угол ∠AOX — это просто центральная мера дуги AX (меньшей). Тогда диапазон значений угла — от 0° до 180°. Но распределение точек X по окружности равномерное. Вероятность попадания в интервал углов рассчитывается через длину дуги.
Если угол ∠AOX<90°, то точка X должна лежать на дуге, которая «видна» из центра под углом менее 90° от точки A. Поскольку угол может быть отложен в обе стороны от OA (по часовой и против часовой стрелки), благоприятная область состоит из двух дуг: одна от A на 90° в одну сторону, другая от A на 90° в другую сторону. Итого общая длина благоприятных дуг составляет 90°+90°=180°.
Вероятность вычисляется как отношение благоприятной длины дуги к полной длине окружности:
Pa=180°/360°=1/2=0,5Шаг 2. Разбор пункта б)
Нужно найти вероятность того, что угол ∠AOX>120°.
Как и в предыдущем пункте, угол ∠AOX принимает значения от 0° до 180°. Условие ∠AOX>120° означает, что точка X находится далеко от точки A. На окружности это соответствует двум дугам, симметричным относительно диаметра, проходящего через A.
Рассмотрим один полуокружность (например, верхнюю). На ней угол меняется от 0° (в точке A) до 180° (в противоположной точке A′). Углы больше 120° занимают часть дуги от 120° до 180°. Длина этой дуги равна 180°-120°=60°.
Так как ситуация симметрична для нижней полуокружности, там также есть дуга длиной 60°, где угол больше 120°.
Общая длина благоприятных дуг: 60°+60°=120°.
Вероятность:
Pb=120°/360°=1/3Шаг 3. Разбор пункта в)
Нужно найти вероятность того, что угол ∠AOX находится в пределах от 30° до 60°, то есть 30°<∠AOX<60°.
Снова учитываем симметрию. На одной стороне от точки A (например, по часовой стрелке) благоприятная дуга имеет угловую меру 60°-30°=30°. На другой стороне (против часовой стрелки) также есть такая же дуга мерой 30°.
Общая длина благоприятных дуг: 30°+30°=60°.
Вероятность:
Pc=60°/360°=1/6Проверка:
- Для пункта а): сумма вероятностей углов <90° и >90° не обязательно равна 1, так как есть случай =90° (вероятность 0). Но логика с двумя симметричными дугами верна.
- Для пункта б): чем больше минимальный порог угла, тем меньше благоприятная область. При пороге 120° остаётся «шапка» вокруг противоположной точки A′. Угловая ширина этой шапки 2×(180-120)=120°. Доля 120/360=1/3. Всё верно.
- Для пункта в): узкая полоса углов. Ширина полосы 30°. Две такие полосы (слева и справа от A). Итого 60°. Доля 60/360=1/6. Всё верно.
а) 0,5
б) 1/3
в) 1/6
Ключевая идея задачи — понимание того, что угол ∠AOX определяется как наименьший угол между радиусами, то есть его значение лежит в диапазоне [0°;180°]. Поскольку точка X равномерно распределена по всей окружности (360°), каждому значению угла α∈(0;180) соответствуют две точки X (симметричные относительно прямой OA). Поэтому при расчете вероятности необходимо удваивать угловую меру благоприятного интервала. Например, для угла <90° благоприятные дуги имеют суммарную меру 90+90=180°, что составляет половину окружности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 199 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 199?
Краткий ответ: а) 0,5 б) 13 в) 16.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Геометрическая вероятность.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.