7–9 классы Геометрическая вероятность

ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 198: Геометрическая вероятность

Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Роман Жуков, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 197 199 →

Условие

Углы AOB и COD вертикальные. При этом точка C лежит на луче AO и ∠AOB/=60^°. Из окружности с центром в точке O случайным образом выбирают точку X. Найдите вероятность того, что точка X лежит

а) внутри хотя бы одного из углов BOC или AOD

б) внутри угла DOC.

Окружность

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся методом геометрической вероятности. Вероятность попадания точки в некоторую область пропорциональна длине дуги окружности, соответствующей этой области (или величине центрального угла).

Шаг 1. Анализ углов и их взаимное расположение

По условию, углы AOB и COD вертикальные. Это означает, что лучи OA и OB являются продолжениями друг друга? Нет, вертикальные углы образуются двумя пересекающимися прямыми. Значит, прямая AC проходит через точку O, а прямая BD проходит через точку O. То есть A,O,C лежат на одной прямой, и B,O,D лежат на одной прямой.

Дано: угол AOB/ =60^o (в условии опечатка в записи дроби, но смысл ясен: угол равен 60^o). Так как углы вертикальные, то угол COD=угол AOB=60^o.

Точка C лежит на луче AO. Поскольку A,O,C на одной прямой, а C на луче AO, это противоречие в стандартной терминологии, если не уточнить направление. Обычно «точка C лежит на луче AO» означает, что C находится между A и O или дальше от O в сторону A. Но так как углы AOB и COD вертикальные, то луч OC должен быть противоположен лучу OA. Следовательно, формулировка «точка C лежит на луче AO» в учебнике, скорее всего, содержит неточность, и имеется в виду, что C лежит на прямой AO так, что OC — продолжение OA. Или же, возможно, имелось в виду, что C лежит на луче, противоположном OA. Давайте разберем стандартную конфигурацию вертикальных углов:

Прямые AC и BD пересекаются в O.
угол AOB=60^o.
угол BOC=180^o-60^o=120^o (смежный с AOB).
угол COD=60^o (вертикальный к AOB).
угол DOA=120^o (вертикальный к BOC).

Проверим условие «точка C лежит на луче AO». Если C лежит на луче AO, то вектор OC сонаправлен с OA. Тогда угол AOC=0^o. Но тогда углы AOB и COD не могут быть вертикальными в классическом смысле (пересечение двух прямых), если только D не совпадает с B. Однако задача говорит о вертикальных углах. Скорее всего, в условии опечатка, и должно быть: «луч OC является продолжением луча OA» или просто даны вертикальные углы. Будем исходить из того, что AOB и COD — вертикальные, значит A-O-C и B-O-D — прямые линии.

Шаг 2. Решение пункта а)

Нужно найти вероятность того, что точка X лежит внутри хотя бы одного из углов BOC или AOD.

Определим величины этих углов:

Угол BOC смежный с углом AOB. угол BOC=180^o-угол AOB=180^o-60^o=120^o.
Угол AOD смежный с углом AOB (так как B,O,D на прямой). угол AOD=180^o-60^o=120^o.

Заметим, что углы BOC и AOD не имеют общих внутренних точек (они расположены напротив друг друга, разделенные углами AOB и COD). Поэтому событие «точка лежит в BOC ИЛИ в AOD» равносильно сумме площадей (углов) этих секторов.

Суммарный угол благоприятных исходов: угол_благ =угол BOC+угол AOD=120^o+120^o=240^o.

Полный угол окружности равен 360^o.

Вероятность равна отношению благоприятного угла к полному углу:

P_a=240/360=2/3.

Шаг 3. Решение пункта б)

Нужно найти вероятность того, что точка X лежит внутри угла DOC.

Как мы установили ранее, угол DOC (он же COD) является вертикальным к углу AOB.

Следовательно, угол DOC=угол AOB=60^o.

Вероятность попадания точки в этот сектор:

P_b=60/360=1/6.

Ответ

а) 2/3; б) 1/6.

Ответ

а) 2/3

б) 1/6

В условии есть небольшая неточность фразировки про луч AO, но контекст 'вертикальные углы' однозначно задает геометрию: две пересекающиеся прямые AC и BD. Угол AOB=60, значит смежные BOC и AOD по 120, вертикальный COD=60. Пункт а) требует сумму углов BOC и AOD (240 град), пункт б) угол DOC (60 град).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 198 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 198?

Краткий ответ: а) 23 б) 16.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Геометрическая вероятность.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.