ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 200: Геометрическая вероятность

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. Вершины A, B и C делят окружность на три равные дуги. Поскольку треугольник равносторонний, центральные углы при вершинах равны 360^°/3=120^°. Следовательно, каждая из трёх дуг (AB, BC, CA) имеет длину, составляющую 1/3 от всей длины окружности.

Обозначим эти дуги как D₁ (между A и B), D₂ (между B и C) и D₃ (между C и A). Точки D и E выбираются случайно и независимо друг от друга на всей длине окружности. Нам нужно определить вероятность того, где окажется хорда DE относительно сторон треугольника.

Хорда DE пересекает сторону треугольника тогда и только тогда, когда точки D и E лежат по разные стороны от этой стороны (то есть принадлежат разным дугам, разделённым концами этой стороны).

• Сторона AB разделяет дугу D₁ (не содержащую C) и объединение дуг D₂∪D₃ (содержащих C). Хорда пересекает AB, если одна точка лежит на D₁, а другая — на D₂ или D₃.
• Аналогично для других сторон: хорда пересекает BC, если точки лежат на разных «половинах», разделённых B и C (дуга D₂ против D₁∪D₃).
• Хорда пересекает CA, если точки лежат на разных «половинах», разделённых C и A (дуга D₃ против D₁∪D₂).

Более простой способ рассуждения: рассмотрим положение точек D и E относительно вершин треугольника. Если обе точки попадают на одну и ту же дугу (например, обе на D₁), то хорда DE целиком лежит внутри сектора, ограниченного радиусами к концам дуги, и не пересекает ни одной стороны треугольника (так как стороны треугольника соединяют концы дуг через центр, а хорда внутри дуги «выпукла» наружу от центра, но остаётся ближе к дуге, чем стороны).

Давайте проверим это утверждение точнее. Стороны треугольника — это хорды AB, BC, CA. Они разбивают круг на четыре области: сам треугольник и три сегмента. Но мы работаем с точками на окружности . Если точка D лежит на дуге AB (без концов), а точка E тоже лежит на дуге AB, то отрезок DE находится полностью внутри этого сегмента круга? Нет, отрезок DE является хордой, стягивающей часть дуги AB. Он не может пересечь сторону AB, так как лежит по ту же сторону от прямой AB, что и дуга AB (внутри сегмента). Он также не может пересечь стороны BC и AC, так как они находятся далеко от дуги AB. Таким образом, если D и E на одной дуге, хорда не пересекает ни одной стороны.

Пункт а): найти вероятность того, что отрезок DE не пересекает ни одну из сторон треугольника.

Как было установлено выше, это происходит тогда и только тогда, когда точки D и E попадают на одну и ту же дугу между вершинами треугольника.

Фиксируем точку D. Она попадает на какую-то из трёх дуг D_1,D_2,D₃. Пусть она попала на дугу D₁. Чтобы отрезок DE не пересекал стороны, точка E должна попасть на ту же самую дугу D₁.

Длина каждой дуги составляет 1/3 длины окружности. Так как выбор равномерный, вероятность попадания точки E на конкретную дугу равна 1/3.

Независимо от того, на какую дугу попала первая точка D, вторая точка E должна попасть на неё же. Вероятность этого события:

Проверим логически: всего возможных пар положений (D,E) можно представить как произведение длин дуг. Если считать пространство исходов квадратом со стороной 1 (где оси соответствуют позициям D и E на окружности, нормированной до 1), то благоприятная область состоит из трёх квадратов размером 1/3×1/3 на диагонали. Площадь этих квадратов: 3·(1/3)²=3·1/9=1/3.

Ответ для а): 1/3.

Пункт б): найти вероятность того, что отрезок DE пересекает ровно две стороны треугольника.

Рассмотрим все возможные случаи расположения точек D и E на дугах D_1,D_2,D₃.

1. Точки на одной дуге (например, D∈D_1,E∈D₁). Как показано в шаге 3, хорда не пересекает ни одной стороны. Количество пересечений: 0.
2. Точки на соседних дугах (например, D∈D_1,E∈D₂). Дуга D₁ — это дуга AB, дуга D₂ — это дуга BC. Точка D лежит между A и B, точка E лежит между B и C. Хорда DE проходит «через» вершину B. Она обязательно пересечёт сторону AB? Нет, она начинается после B на дуге AB и заканчивается до B на дуге BC? Подождём. Вершины A,B,C идут по порядку. Дуга D₁ заканчивается в B, начинается в A. Дуга D₂ начинается в B, заканчивается в C. Если D близко к B (со стороны A), а E близко к B (со стороны C), то хорда DE очень короткая и лежит около вершины B. Она не пересекает сторону AC. Пересекает ли она AB или BC? Прямая AB отделяет дугу D₁ от остальной части окружности? Нет, прямая AB делит плоскость на две полуплоскости. В одну попадает дуга D₁ (малая дуга AB), в другую — дуга D₂∪D₃. Если D∈D₁ и E∈D₂, то D и E лежат по разные стороны от прямой AB? Да, точка D лежит на дуге AB, которая выпукла наружу относительно треугольника. Прямая AB является хордой. Все точки дуги AB (кроме концов) лежат по одну сторону от прямой AB. Все точки дуги BC лежат по другую сторону от прямой AB (так как C лежит по другую сторону от AB). Значит, отрезок DE пересекает прямую AB. Так как D и E находятся достаточно близко к B, пересечение происходит именно с отрезком AB (или его продолжением?). Нужно быть аккуратным. Геометрически: если D на дуге AB, а E на дуге BC, то хорда DE пересекает сторону AB и сторону BC? Или только одну? Рассмотрим вершину B. Стороны AB и BC выходят из B. Любая хорда, соединяющая точку на дуге AB и точку на дуге BC, будет пересекать угол B треугольника? Нет, она будет проходить «мимо» вершины B снаружи треугольника или через него? На самом деле, любая хорда, концы которой лежат на двух соседних дугах (разделённых общей вершиной), пересекает ровно две стороны треугольника, выходящие из этой общей вершины? Проверим. Пусть D на дуге AB, E на дуге BC. Хорда DE пересекает сторону AB? Да, потому что D и E лежат по разные стороны от прямой AB. Пересекает ли она отрезок AB? Да, если точка пересечения лежит между A и B. Это верно для любых внутренних точек дуг. Пересекает ли она сторону BC? Аналогично, D и E лежат по разные стороны от прямой BC (так как A и D по одну сторону, E по другую? Нет, D на дуге AB, значит D и A по одну сторону от BC? Треугольник ABC равносторонний. Прямая BC делит плоскость. A лежит в одной полуплоскости. Дуга AB (кроме B) лежит в той же полуплоскости, что и A. Дуга BC лежит... ну, сама дуга BC симметрична относительно перпендикуляра, но точки на ней лежат по разные стороны от прямой BC? Нет, хорда BC отсекает сегмент. Точки на дуге BC лежат по одну сторону от прямой BC. Точки на дуге AB лежат по другую сторону от прямой BC (так как A по другую). Значит, отрезок DE пересекает прямую BC. И пересечение лежит на отрезке BC. Итак, если точки на соседних дугах, хорда пересекает две стороны, общие для этих дуг. Пересекает ли она третью сторону AC? Нет, так как вся конфигурация находится «около» вершины B, а сторона AC далеко.
3. Точки на противоположных дугах? В треугольнике нет понятия «противоположная дуга» в смысле диаметра, но есть случай, когда точки лежат на дугах, не имеющих общих вершин? Например, D∈D₁ (дуга AB) и E∈D₃ (дуга CA)? Эти дуги имеют общую вершину A. Это тот же случай «соседних дуг». А если D∈D₁ и E∈D₂? Общая вершина B. А если D∈D₁ и E∈D₃? Общая вершина A. Есть ли случай, когда дуги не имеют общих вершин? Нет, в треугольнике любые две дуги имеют общую вершину. Значит, возможны только два случая: 1. Одна и та же дуга (D,E∈D_i). Пересечений: 0. 2. Разные дуги (D∈D_i,E∈D_j,i≠j). Тогда дуги соседние, имеют общую вершину. Хорда пересекает две стороны, исходящие из этой вершины. Пересечений: 2.

Таким образом, событие «пересекает ровно две стороны» эквивалентно событию «точки D и E лежат на разных дугах».

Вероятность того, что точки лежат на разных дугах, равна дополнению к вероятности того, что они лежат на одной дуге.

Проверим площадь в единичном квадрате: неблагоприятные зоны (диагональные квадраты) занимают 1/3 площади. Остальная часть (2/3) соответствует тому, что D и E на разных дугах. В этих зонах хорда всегда пересекает ровно две стороны.

Ответ для б): 2/3.