7–9 классы Выбор точки из отрезка и дуги окружности § 63. Выбор точки из отрезка и дуги окружности

ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 193: Выбор точки из отрезка и дуги окружности

Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Павел Лебедев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 192 194 →

Условие

В прямоугольнике со сторонами 6 см и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найти вероятность того, что случайно выбранная точка

а) не принадлежит ни одному из этих кругов

б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Прямоугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решение задачи № 193

Для решения этой геометрической вероятностной задачи нам нужно сравнить площади фигур. Вероятность попадания точки в некоторую область равна отношению площади этой области к площади всей допустимой зоны (в данном случае — площади прямоугольника).

Шаг 1. Вычислим площадь прямоугольника и кругов

Сначала найдем общую площадь, на которой может оказаться точка. Это площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 20 см:

S_пр =6·20=120 см²

Теперь вычислим площадь одного круга. Диаметр круга равен d=3 см, значит, радиус r=3/2=1,5 см.

Площадь одного круга:

S_кр =πr²=π·(1,5)²=2,25π см²

Так как кругов два и они не пересекаются, суммарная площадь, занятая кругами, равна:

S_круги =2·S_кр =2·2,25π=4,5π см²

Шаг 2. Решение пункта а)

Нужно найти вероятность того, что случайно выбранная точка не принадлежит ни одному из этих кругов .

Это означает, что точка должна попасть в часть прямоугольника, свободную от кругов. Найдем площадь этой «свободной» части:

S_своб =S_пр -S_круги =120-4,5π см²

Вероятность события A (точка вне кругов) равна отношению площади свободной части к площади всего прямоугольника:

P(A)=S_своб/S_пр =120-4,5π/120

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 120 или почленно:

P(A)=120/120-4,5π/120=1-4,5π/120

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2, чтобы избавиться от десятичной запятой в числителе:

4,5·2/120·2=9/240

Сократим дробь 9/240 на 3:

9:3/240:3=3/80

Итак, точное значение вероятности:

P(A)=1-3π/80

Вычислим приближенное значение, подставив π≈3,14159:

3π/80≈3·3,14159/80≈9,42477/80≈0,1178 P(A)≈1-0,1178=0,8822

Округляем до трех знаков после запятой: 0,882.

Шаг 3. Решение пункта б)

Нужно найти вероятность того, что точка не принадлежит хотя бы одному из этих кругов .

Давайте проанализируем условие с точки зрения логики множеств. Пусть K₁ — множество точек первого круга, K₂ — множество точек второго круга.

Условие «не принадлежит хотя бы одному из кругов» записывается как K₁∪K₂ (объединение дополнений). По законам де Моргана это равносильно K₁∩K₂ (дополнение пересечения).

То есть нас интересует вероятность того, что точка не попадает одновременно в оба круга .

По условию задачи сказано, что круги непересекающиеся . Это значит, что у них нет общих точек (K₁∩K₂=∅).

Следовательно, невозможно выбрать точку, которая принадлежала бы обоим кругам сразу. Любая точка прямоугольника либо не принадлежит первому кругу, либо не принадлежит второму кругу (или не принадлежит ни тому, ни другому).

Таким образом, событие «точка не принадлежит хотя бы одному из кругов» является достоверным для любой точки внутри прямоугольника.

Вероятность достоверного события равна 1.

P(B)=1

Ответ

а) 1-3π/80≈0,882

б) 1

В пункте а) важно аккуратно сократить дробь с пи. В пункте б) ключевым моментом является понимание логического союза 'хотя бы один' и условия непересечения кругов. Так как пересечение пусто, то любая точка не входит в пересечение, что делает событие достоверным.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 193 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 193?

Краткий ответ: а) 1 - 3 80 0,882 б) 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 63. Выбор точки из отрезка и дуги окружности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.