ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 191: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Сергей Мишин, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции AMCD, где точка M
а) середина стороны BC
б) делит отрезок BC в отношении 1:2, считая от точки C
в) делит отрезок BC в отношении m:n, считая от точки B.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение задачи №191
В данной задаче мы имеем дело с геометрической вероятностью. Вероятность того, что случайная точка X, выбранная внутри квадрата ABCD, попадёт в определённую область (трапецию AMCD), равна отношению площади этой области к площади всего квадрата.
Шаг 1. Обозначения и общая формула
Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Тогда площадь квадрата:
SABCD=a2Трапеция AMCD имеет основания AD и MC (так как AD∥BC, а M лежит на BC, то AD∥MC) и высоту CD=a (расстояние между параллельными сторонами).
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
SAMCD=AD+MC/2·hТак как AD=a и h=CD=a, то:
SAMCD=a+MC/2·a=a(a+MC)/2Искомая вероятность P равна:
P=SAMCD/SABCD=a(a+MC)/2/a2=a+MC/2a=1/2+MC/2aДля решения нам нужно найти длину отрезка MC для каждого случая.
Шаг 2. Пункт а) M — середина стороны BC
Если M — середина стороны BC, то длина отрезка BM=a/2 и длина отрезка MC=a/2.
Подставим значение MC в формулу вероятности:
Pa=1/2+a/2/2a=1/2+a/4a=1/2+1/4Приведём к общему знаменателю:
Pa=2/4+1/4=3/4Ответ для пункта а): 3/4.
Шаг 3. Пункт б) M делит BC в отношении 1:2 от точки C
Условие «делит отрезок BC в отношении 1:2, считая от точки C» означает, что отношение длин CM:MB=1:2.
Обозначим CM=x, тогда MB=2x. Сумма этих частей равна стороне квадрата:
x+2x=aimplies3x=aimpliesx=a/3Таким образом, длина основания трапеции MC=a/3.
Подставим это значение в общую формулу:
Pb=1/2+a/3/2a=1/2+a/6a=1/2+1/6Приведём к общему знаменателю (6):
Pb=3/6+1/6=4/6=2/3Ответ для пункта б): 2/3.
Шаг 4. Пункт в) M делит BC в отношении m:n от точки B
Условие «делит отрезок BC в отношении m:n, считая от точки B» означает, что BM:MC=m:n.
Обозначим коэффициент пропорциональности за k. Тогда BM=mk и MC=nk.
Сумма частей равна стороне квадрата a:
mk+nk=aimpliesk(m+n)=aimpliesk=a/m+nНайдём длину отрезка MC:
MC=nk=n·a/m+n=na/m+nПодставим выражение для MC в формулу вероятности:
Pc=1/2+MC/2a=1/2+na/m+n/2aУпростим вторую дробь (сократим a):
na/m+n/2a=na/(m+n)·2a=n/2(m+n)Теперь сложим дроби:
Pc=1/2+n/2(m+n)Приведём к общему знаменателю 2(m+n):
Pc=m+n/2(m+n)+n/2(m+n)=m+n+n/2(m+n)=m+2n/2m+2nОтвет для пункта в): m+2n/2m+2n.
а) 3/4
б) 2/3
в) m+2n/2m+2n
Задача решается методом геометрической вероятности. Ключевой момент — правильно определить длину верхнего основания трапеции MC в каждом пункте. В пункте в) важно не перепутать порядок отношения: 'от точки B' значит BM:MC=m:n, поэтому MC соответствует части n.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 191 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 191?
Краткий ответ: а) 34 б) 23 в) m+2n2m+2n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 61. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.