ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 233: Вероятности событий в испытаниях Бернулли
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Илья Морозов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В серии из n испытаний (n≥9) выразите формулой число событий, благоприятствующих появлению
а) 2 или 3 успехов
б) не более 5 успехов
в) ровно 4, 6 или 9 успехов
г) менее 4 неудач.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В задачах на испытания Бернулли нас интересует количество успехов k в серии из n независимых испытаний. Число различных исходов (комбинаций), при которых происходит ровно k успехов, определяется биномиальным коэффициентом Ckn. Если нам нужно найти число событий для нескольких значений k, мы просто суммируем соответствующие коэффициенты.
Шаг 1. Пункт а) 2 или 3 успеха
Нам нужно выразить число событий, благоприятствующих появлению ровно 2 успехов ИЛИ ровно 3 успехов. Эти события несовместны, поэтому их количества складываются.
- Число событий с 2 успехами: C2n.
- Число событий с 3 успехами: C3n.
Итого формула: C2n+C3n
Шаг 2. Пункт б) Не более 5 успехов
«Не более 5» означает, что число успехов k может быть любым целым числом от 0 до 5 включительно (0≤k≤5). Нам нужно просуммировать числа событий для каждого возможного значения k.
- k=0: C0n=1
- k=1: C1n=n
- k=2: C2n
- k=3: C3n
- k=4: C4n
- k=5: C5n
Суммируя все эти варианты, получаем формулу:
1+n+C2n+C3n+C4n+C5nШаг 3. Пункт в) Ровно 4, 6 или 9 успехов
Здесь перечислены конкретные значения числа успехов: 4, 6 и 9. Так как условия «или» соединяют несовместные события, мы просто складываем биномиальные коэффициенты для этих значений.
- Для 4 успехов: C4n.
- Для 6 успехов: C6n.
- Для 9 успехов: C9n.
Итоговая формула:
C4n+C6n+C9nШаг 4. Пункт г) Менее 4 неудач
Это условие требует внимательности. Пусть m — число неудач. Условие «менее 4 неудач» означает m<4, то есть m может принимать значения 0, 1, 2 или 3.
Вспомним связь между числом успехов k и числом неудач m в n испытаниях: k+m=n, откуда k=n-m.
- Если неудач 0 (m=0), то успехов k=n. Число событий: Cnn=1.
- Если неудач 1 (m=1), то успехов k=n-1. Число событий: Cn-1n=n.
- Если неудач 2 (m=2), то успехов k=n-2. Число событий: Cn-2n.
- Если неудач 3 (m=3), то успехов k=n-3. Число событий: Cn-3n.
Таким образом, точная формула через число успехов будет выглядеть так: 1+n+Cn-2n+Cn-3n.
Примечание: В предоставленном ключе ответа для пункта г) указано 1+n+C2n+C3n. Это выражение соответствует числу событий с менее чем 4 успехами (0, 1, 2 или 3 успеха), а не неудачами. Однако, если предположить, что в условии задачи подразумевалась симметрия свойств биномиальных коэффициентов или опечатка в трактовке «неудач/успехов» относительно стандартных задач этого типа, часто проверяется умение переходить к дополнению. Но строго математически «менее 4 неудач» — это почти все успехи. Если же следовать логике ключа, возможно, имелось в виду «менее 4 успехов». Учитывая строгое условие «менее 4 неудач», правильная запись через k (успехи): Cnn+Cn-1n+Cn-2n+Cn-3n. Используя свойство Ckn=Cn-kn, можно записать это как 1+n+C2n+C3n? Нет, Cn-2n=C2n верно, и Cn-3n=C3n верно.
Давайте проверим это свойство:
Cn-2n=n!/(n-2)!2!=C2n Cn-3n=n!/(n-3)!3!=C3nОтлично! Значит, формула 1+n+C2n+C3n действительно верна для случая «менее 4 неудач», благодаря симметрии биномиальных коэффициентов. Мы получили её, заменив Cn-2n на C2n и Cn-3n на C3n.
Итоговая формула:
1+n+C2n+C3nа) C2n+C3n
б) 1+n+C2n+C3n+C4n+C5n
в) C4n+C6n+C9n
г) 1+n+C2n+C3n
В пункте г) важно использовать свойство симметрии биномиальных коэффициентов Ckn=Cn-kn. Условие 'менее 4 неудач' эквивалентно тому, что число успехов k равно n,n-1,n-2,n-3. Сумма Cnn+Cn-1n+Cn-2n+Cn-3n преобразуется в 1+n+C2n+C3n, что совпадает с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 233 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 233?
Краткий ответ: а) C_n^2 + C_n^3 б) 1 + n + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5 в) C_n^4 + C_n^6 + C_n^9 г) 1 + n + C_n^2 + C_n^3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 67. Вероятности событий в испытаниях Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.