ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 276: Закон больших чисел и его применение
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Серия из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p.
а) При каком p дисперсия числа успехов максимальна?
б) Чему равно это максимальное стандартное отклонение?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче рассматривается случайная величина X — число успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли. Эта величина имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Нам нужно исследовать дисперсию этой величины как функцию от вероятности успеха p.
Шаг 1. Формула дисперсии числа успехов
Известно, что для биномиального распределения математическое ожидание равно M(X)=np, а дисперсия вычисляется по формуле:
D(X)=np(1-p)Здесь n — фиксированное число испытаний (константа), а p — переменная величина, принимающая значения от 0 до 1. Наша цель — найти такое значение p, при котором произведение p(1-p) будет максимальным, так как множитель n не влияет на положение максимума по переменной p.
Шаг 2. Поиск максимума функции (пункт а)
Рассмотрим функцию f(p)=p(1-p)=p-p2. Это квадратичная функция относительно p, график которой представляет собой параболу с ветвями вниз (так как коэффициент при p2 равен -1<0).
Вершина параболы y=ax2+bx+c находится в точке x0=-b/2a. В нашем случае a=-1, b=1. Тогда координата вершины по оси p равна:
pmax=-1/2·(-1)=1/2=0,5Таким образом, дисперсия D(X)=n·f(p) достигает своего максимального значения при p=0,5. Это логично: наибольшая неопределенность результата испытания возникает тогда, когда шансы успеха и неудачи равны.
Шаг 3. Вычисление максимального стандартного отклонения (пункт б)
Стандартное отклонение σ(X) связано с дисперсией соотношением σ(X)=D(X). Сначала найдем максимальное значение дисперсии, подставив найденное p=0,5 в исходную формулу:
Dmax=n·0,5·(1-0,5)=n·0,5·0,5=0,25n=n/4Теперь вычислим максимальное стандартное отклонение:
σmax=Dmax=n/4=n/4=n/2=0,5nПроверка
Проверим граничные случаи. Если p=0 или p=1, то успех гарантирован или невозможен, разброс значений отсутствует, дисперсия равна 0. При p=0,5 мы получили положительное значение. Поскольку функция непрерывна и имеет единственный экстремум внутри интервала (0;1), это действительно глобальный максимум.
а) При p=0,5
б) 0,5n
Задача сводится к нахождению максимума квадратичной функции p(1-p). Ключ совпадает с полученным решением.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 276 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 276?
Краткий ответ: а) При p = 0,5 б) 0,5√n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 73. Закон больших чисел и его применение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.