ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 320: Линейная функция

Рассмотрим линейную функцию y=kx+4. Нам нужно найти значение коэффициента k для каждого из четырёх случаев. Вспомним свойства линейной функции: графиком является прямая, где k — угловой коэффициент (наклон), а свободный член b=4 определяет точку пересечения с осью ординат.

а) Параллельность графику прямой пропорциональности y=-x

• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.
• У графика y=-x угловой коэффициент равен -1.
• Следовательно, для нашей функции должно выполняться условие k=-1.

б) Не пересекает ось абсцисс

• Ось абсцисс (Ox) имеет уравнение y=0.
• Если график не пересекает ось Ox, то система уравнений {y=kx+4y=0 не имеет решений.
• Подставив y=0, получаем kx+4=0, откуда kx=-4.
• Это уравнение не имеет решения относительно x только в том случае, если коэффициент при x равен нулю, а свободный член не равен нулю. То есть k=0.
• При k=0 функция принимает вид y=4. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0;4), которая никогда не касается оси Ox.

в) Пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3

• Точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты (3;0), так как на этой оси y=0.
• Подставим эти координаты в уравнение функции: 0=k·3+4.
• Решим полученное уравнение: 3k=-4, откуда k=-4/3.

г) Проходит через точку пересечения графиков функций y=12-x и y=x+4

• Найдём координаты точки пересечения двух заданных функций. Приравняем правые части: 12-x=x+4.
• Переносим слагаемые: 12-4=x+x, получаем 8=2x, значит x=4.
• Найдём y: y=4+4=8. Точка пересечения имеет координаты (4;8).
• Так как график нашей функции проходит через эту точку, подставим x=4 и y=8 в уравнение y=kx+4:
• 8=k·4+4.
• Вычитаем 4 из обеих частей: 4=4k, откуда k=1.

Проверка и обсуждение результатов:

• В пункте а) при k=-1 функция y=-x+4 действительно параллельна y=-x (разные свободные члены).
• В пункте б) при k=0 функция y=4 является константой, её график — горизонтальная линия выше оси Ox, пересечений нет.
• В пункте в) при k=-4/3 корень уравнения -4/3x+4=0 равен x=3, что совпадает с условием.
• В пункте г) при k=1 функция y=x+4 совпадает с одной из исходных функций, поэтому она точно проходит через точку их пересечения (4;8).