ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 346: Линейная функция

Для решения задачи необходимо проанализировать поведение заданной кусочно-заданной функции. Функция состоит из двух частей: линейной y=-x-2 для x<-1 и линейной y=2x+1 для x≥-1. Прямая y=m является горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс. Количество общих точек с графиком функции зависит от того, на какой высоте m проходит эта прямая относительно «излома» графика.

План действий:

1. Найдем значение функции в точке стыка x=-1.
2. Определим область значений каждой ветви графика.
3. Сопоставим уровень прямой y=m с полученными областями значений.

Вычисление и анализ:

1. Точка стыка. При x=-1 работает вторая часть функции (x≥-1): y=2(-1)+1=-2+1=-1 Таким образом, правая ветвь начинается в точке (-1;-1) и включительно содержит эту точку. 2. Левая ветвь (x<-1). Функция y=-x-2 является убывающей (коэффициент при x равен -1). При x→-∞, y→+∞. При приближении к границе x→-1 (но x<-1), значения y стремятся к: y=-(-1)-2=1-2=-1 Так как неравенство строгое (x<-1), точка (-1;-1) не входит в левую ветвь. Значения левой ветви лежат в интервале (-1;+∞). 3. Правая ветвь (x≥-1). Функция y=2x+1 является возрастающей. Минимальное значение достигается при x=-1: y=-1. При x→+∞, y→+∞. Значения правой ветви лежат в промежутке [-1;+∞). 4. Объединение областей значений. Левая ветвь дает y>-1. Правая ветвь дает y≥-1. Вся функция принимает значения y≥-1. Теперь рассмотрим пересечение с прямой y=m: * Если m<-1: Прямая лежит ниже минимального значения функции. Общих точек нет. * Если m=-1: Прямая касается вершины угла. Левая ветвь не достигает -1 (так как x<-1), а правая ветвь включает точку (-1;-1). Следовательно, ровно одна общая точка. * Если m>-1: Прямая пересекает обе ветви. Левая ветвь принимает все значения больше -1, значит, есть одна точка пересечения слева. Правая ветвь также принимает все значения больше или равные -1, значит, есть одна точка пересечения справа. Итого две общие точки.

Проверка:

Подставим конкретные числа для проверки выводов. Пусть m=-2 (случай а). Уравнение -x-2=-2⇒x=0. Но условие x<-1 не выполнено. Уравнение 2x+1=-2⇒2x=-3⇒x=-1.5. Но условие x≥-1 не выполнено. Действительно, ни одной точки. Пусть m=0 (случай в). Уравнение -x-2=0⇒x=-2. Условие -2<-1 верно. Одна точка. Уравнение 2x+1=0⇒x=-0.5. Условие -0.5≥-1 верно. Вторая точка. Итого две точки.