ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 347: Линейная функция

Для решения задачи необходимо проанализировать поведение кусочно-заданной функции. Функция состоит из двух частей: линейной y=-x+1 на промежутке x≤1 и линейной y=2x-3 на промежутке x>1. Прямая y=m — это горизонтальная линия, пересекающая ось ординат в точке (0;m). Наша задача — найти количество точек пересечения этой горизонтальной линии с графиком функции.

Анализ первой части графика (x≤1):

• Функция y=-x+1 является убывающей.
• При x=1 значение функции равно y=-1+1=0. Это правая граница участка (включена).
• Так как x может уменьшаться до -∞, то y будет увеличиваться до +∞.
• Множество значений для этой части: [0;+∞).

Анализ второй части графика (x>1):

• Функция y=2x-3 является возрастающей.
• При x→1⁺ (справа от единицы) значение функции стремится к y=2(1)-3=-1. Точка (1;-1) не входит в график, так как условие строго x>1.
• Так как x может увеличиваться до +∞, то y также увеличивается до +∞.
• Множество значений для этой части: (-1;+∞).

Объединение множеств значений:

График функции покрывает все значения y, начиная чуть выше -1 и уходя вверх бесконечно. Однако нужно внимательно посмотреть на «разрыв» или стык участков.

• Левый участок дает значения y≥0.
• Правый участок дает значения y>-1.
• В интервале (-1;0) значения принимает только правый участок (так как левый начинается с 0).
• Значение y=0 принимается только левым участком (в точке x=1). Правый участок при y=0 имеет x=1.5, что подходит под x>1. Значит, при y=0 есть две точки? Нет, давайте проверим точнее.

Давайте найдем абсциссы пересечений для конкретного m:

1. Для левой ветви: m=-x+1⇒x=1-m. Условие существования: x≤1⇒1-m≤1⇒-m≤0⇒m≥0.
2. Для правой ветви: m=2x-3⇒2x=m+3⇒x=m+3/2. Условие существования: x>1⇒m+3/2>1⇒m+3>2⇒m>-1.

Теперь определим количество решений системы уравнений для каждого случая:

а) Ни одной общей точки:

Это возможно, если ни одно из условий m≥0 и m>-1 не выполняется одновременно для получения реальных x в заданных областях определения. Но подождите, мы ищем пересечение с графиком . Если m не попадает в область значений ни одной из ветвей, точек нет.

• Левая ветвь существует при m∈[0;+∞).
• Правая ветвь существует при m∈(-1;+∞).
• Область значений всей функции — объединение этих множеств: (-1;+∞).
• Если m≤-1, то прямая y=m лежит ниже всего графика. При m=-1 правая ветвь не достигает этого значения (открытая точка), а левая ветвь равна 0 и больше. Значит, при m≤-1 общих точек нет.

б) Ровно одна общая точка:

Рассмотрим случаи:

• Если m>0: обе ветви дают по одному решению (x₁=1-m и x₂=m+3/2). Итого 2 точки.
• Если m=0: Левая ветвь дает x=1 (допустимо). Правая ветвь дает x=1.5 (допустимо). Итого 2 точки.
• Если -1<m<0: Левая ветвь не дает решений (так как требует m≥0). Правая ветвь дает одно решение (x=m+3/2, которое будет между 1 и 1.5). Итого 1 точка.

Таким образом, ровно одна точка получается при -1<m<0.

в) Ровно две общие точки:

Как мы выяснили выше, при m≥0 работают обе ветви, давая по одному значению x каждая. Эти значения различны (один x≤1, другой x>1). Следовательно, при m≥0 график имеет ровно две общие точки с прямой y=m.

Проверка ключа:

Ключ утверждает: а) m<-1; б) -1<m<0; в) m≥0.

Мой вывод для пункта (а): при m=-1 точек тоже нет. Ключ говорит m<-1. Давайте проверим точку m=-1. Правая ветвь y=2x-3. Если y=-1, то 2x=2,x=1. Но условие x>1. Значит, точка (1;-1) выколота. Левая ветвь y=-x+1. Если y=-1, то -x=-2,x=2. Но условие x≤1. Значит, эта точка не принадлежит левой ветви. Таким образом, при m=-1 общих точек действительно нет. Ключ немного неточен или использует строгое неравенство, подразумевая, что граница m=-1 относится к случаю «ни одной точки». Обычно в таких задачах границы проверяются отдельно. Если следовать строгой математике: при m≤-1 точек нет. В ответе учебника часто опускают равенство на границе разрыва, если там открытая точка, но формально m=-1 тоже дает 0 точек. Однако, посмотрим на пункт (в). Там m≥0. Значит, промежуток [-1;0) должен быть распределен. При m=-1 точек 0. При m∈(-1;0) точек 1. При m≥0 точек 2.

Скорее всего, в ключе опечатка или специфическая трактовка границ. Но стандартный школьный подход: если при m=-1 точек нет, то этот случай относится к пункту (а). То есть правильный ответ для (а) должен включать m=-1. Тем не менее, я приведу решение, согласующееся с логикой множества значений, и отмечу граничный случай.

Итак, итоговые выводы:

• Ни одной точки: m≤-1.
• Одна точка: -1<m<0.
• Две точки: m≥0.