ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 382: система неравенств

План решения. Чтобы определить, лежит ли начало координат O(0;0) внутри треугольника, нужно проверить его положение относительно каждой из трёх прямых, образующих стороны этого треугольника. Для этого подставим координаты точки (0;0) в уравнения прямых и сравним значения левой части (y) с правой частью выражения при x=0. Если точка удовлетворяет системе неравенств, соответствующих внутренней области треугольника, то она лежит внутри.

Вычисление. Рассмотрим каждую прямую отдельно:

• Прямая l₁:y=3x+2. При x=0 значение функции равно 3·0+2=2. Координата y начала координат равна 0. Так как 0<2, точка лежит ниже прямой l₁ (или слева от неё в зависимости от ориентации, но для проверки принадлежности достаточно знака разности). Запишем неравенство: y-(3x+2)<0⇒0-2=-2<0.
• Прямая l₂:y=-2x+3. При x=0 значение функции равно -2·0+3=3. Координата y начала координат равна 0. Так как 0<3, точка лежит ниже прямой l₂. Неравенство: y-(-2x+3)<0⇒0-3=-3<0.
• Прямая l₃:y=0,5x-2. При x=0 значение функции равно 0,5·0-2=-2. Координата y начала координат равна 0. Так как 0>-2, точка лежит выше прямой l₃. Неравенство: y-(0,5x-2)>0⇒0-(-2)=2>0.

Теперь найдём вершины треугольника, чтобы убедиться в корректности знаков неравенств. Вершина A — пересечение l₁ и l₂: 3x+2=-2x+3⇒5x=1⇒x=0,2,y=2,6. Точка A(0,2;2,6). Вершина B — пересечение l₁ и l₃: 3x+2=0,5x-2⇒2,5x=-4⇒x=-1,6,y=-2,8. Точка B(-1,6;-2,8). Вершина C — пересечение l₂ и l₃: -2x+3=0,5x-2⇒2,5x=5⇒x=2,y=-1. Точка C(2;-1). Начало координат (0;0) имеет x между -1,6 и 2, и y между -2,8 и 2,6. Проверим по знакам отклонений от прямых. Для внутренней точки все три условия должны выполняться одновременно относительно ориентированной площади или просто через систему неравенств, определяющую полуплоскости.

Более простой способ: вычислим знаки выражений f_i(x,y)=y-k_ix-b_i для точки (0,0): 1) f₁(0,0)=0-2=-2 2) f₂(0,0)=0-3=-3 3) f₃(0,0)=0-(-2)=2 Проверим точку внутри треугольника, например, центроид G=((0,2-1,6+2)/3;(2,6-2,8-1)/3)=(0,6/3;-1,2/3)=(0,2;-0,4). f₁(0,2;-0,4)=-0,4-(3·0,2+2)=-0,4-2,6=-3 (знак минус совпадает с f₁(0,0)) f₂(0,2;-0,4)=-0,4-(-2·0,2+3)=-0,4-2,6=-3 (знак минус совпадает с f₂(0,0)) f₃(0,2;-0,4)=-0,4-(0,5·0,2-2)=-0,4-(0,1-2)=-0,4+1,9=1,5 (знак плюс совпадает с f₃(0,0)) Так как знаки всех трёх выражений для начала координат совпадают со знаками для внутренней точки треугольника, начало координат лежит внутри него.

Проверка. Мы использовали метод сравнения знаков линейных функций. Если бы точка лежала вне, хотя бы один знак отличался бы от знака для гарантированно внутренней точки (центроида). Все знаки совпали. Следовательно, вывод верен.