ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 409: Степень и её свойства

План решения:

• Разложим числа 90 и 15 на простые множители.
• Проанализируем структуру наименьшего общего кратного (НОК), чтобы определить обязательные и возможные простые множители числа a.
• Составим все возможные варианты для a, удовлетворяющие условию, что НОК(15; a) = 90.

Вычисление:

1. Разложение на простые множители: 90=2·3²·5 15=3·5
2. Вспомним правило нахождения НОК: в разложение НОК входят все простые множители исходных чисел, взятые в наибольшей степени. Так как НОК(15; a) = 90, то разложение числа a должно быть таким, чтобы при объединении с разложением 15 (3¹·5¹) получилось 2¹·3²·5¹.
3. Анализ простых множителей числа a:
   • Множитель 2: В числе 15 нет двойки. Чтобы в НОК появилась 2¹, число a обязательно должно содержать множитель 2 в первой степени (2¹). Если бы было 2² или выше, то и в НОК была бы степень выше первой, что противоречит условию (90 содержит только одну двойку).
   • Множитель 3: В числе 15 есть 3¹. В НОК есть 3². Значит, максимальная степень тройки среди чисел 15 и a должна быть равна 2. Так как у 15 степень всего 1, то у числа a степень тройки должна быть ровно 2 (3²). Если бы у a было 3¹ или меньше, то в НОК было бы 3¹. Если бы было 3³ или больше, то в НОК была бы степень >2.
   • Множитель 5: В числе 15 есть 5¹. В НОК есть 5¹. Это значит, что максимальная степень пятерки не превышает 1. Число a может содержать 5⁰ (то есть не содержать пятерку) или 5¹. Степень выше 1 недопустима, так как тогда в НОК появилась бы 5² или выше.
   • Другие простые множители: Если бы число a содержало другие простые множители (например, 7, 11 и т.д.), они бы попали в НОК. Но в разложении 90 других простых множителей нет. Следовательно, число a не имеет других простых делителей, кроме 2, 3 и 5.
4. Составим возможные значения a: Обязательная часть: 2¹·3²=18. Возможная часть (множитель 5): либо 5⁰=1, либо 5¹=5. Вариант 1: a=2¹·3²·5⁰=18. Проверка: НОК(15; 18). 15=3·5, 18=2·3². НОК = 2·3²·5=90. Подходит. Вариант 2: a=2¹·3²·5¹=90. Проверка: НОК(15; 90). Так как 90 кратно 15, то НОК равен большему числу, то есть 90. Подходит.

Проверка и вывод:

Мы нашли два натуральных числа: 18 и 90. Убедимся, что для них 90 действительно является наименьшим общим кратным. Для a=18: кратные 18 — это 18, 36, 54, 72, 90... Кратные 15 — это 15, 30, 45, 60, 75, 90... Наименьшее общее — 90. Для a=90: кратные 90 — это 90, 180... Кратные 15 включают 90. Наименьшее общее — 90. Других вариантов нет, так как мы учли все ограничения по степеням простых множителей.