ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 412: Степень и её свойства
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Из данных выражений (a^2 + 1, -a4, 3+(5-a)2, -a-a3, -a2+8, 3a+4, a4+a2+8, -a6-4a8-1, -7a-4, -a8-9) выберите те, которые
а) только положительны
б) только отрицательны.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи проанализируем знак каждого выражения при любом действительном значении переменной a. Вспомним свойства степеней: квадрат и любая чётная степень числа неотрицательны (x2≥0, x4≥0), а нечётная степень сохраняет знак основания. Также учтём, что сумма неотрицательного числа и положительной константы всегда строго положительна.
а) Выражения, которые только положительны:
- a2+1: так как a2≥0, то a2+1≥1>0. Это выражение всегда положительно.
- 3+(5-a)2: квадрат (5-a)2≥0, поэтому вся сумма ≠0 и больше или равна 3. Выражение всегда положительно.
- a4+a2+8: слагаемые a4≥0 и a2≥0, значит их сумма плюс 8 будет не меньше 8. Выражение всегда положительно.
Остальные выражения из списка могут принимать отрицательные значения или ноль, либо имеют переменный знак (например, -a-a3 меняет знак в зависимости от a).
б) Выражения, которые только отрицательны:
- -a4: так как a4≥0, то перед ним стоит минус. При a=0 значение равно 0, но обычно под «только отрицательными» в таких задачах подразумевают строгую отрицательность для всех допустимых значений, кроме случаев, когда это невозможно. Однако давайте посмотрим внимательнее на другие варианты. Если a≠0, то -a4<0. Но при a=0 оно равно 0. Строго говоря, оно неотрицательно? Нет, оно неположительно. Проверим остальные.
- -a6-4a8-1: здесь a6≥0 и a8≥0. Тогда -a6≤0 и -4a8≤0. Сумма двух неотрицательных чисел (в модуле) со знаком минус и единицы: -(a6+4a8)-1. Так как a6+4a8≥0, то вычитание этого из -1 даст число, которое всегда меньше или равно -1. Следовательно, это выражение всегда строго отрицательно.
- -a8-9: аналогично, a8≥0, значит -a8≤0. Вычитая 9, получаем значение ≠-9. То есть -a8-9≤-9<0. Это выражение всегда строго отрицательно.
Выражение -a4 при a=0 равно 0, поэтому оно не является строго отрицательным для всех a. Обычно в школьной программе «только отрицательные» означает <0 для любого a. Поэтому в пункт б включаем те, где есть свободный член с противоположным знаком степени, гарантирующий строгий знак.
Проверка:
Подставим a=0 в выбранные выражения:
- a2+1=1>0 (ок)
- 3+(5-0)2=28>0 (ок)
- 0+0+8=8>0 (ок)
- -0-0-1=-1<0 (ок)
- -0-9=-9<0 (ок)
Подставим a=1:
- 1+1=2>0
- 3+16=19>0
- 1+1+8=10>0
- -1-4-1=-6<0
- -1-9=-10<0
а) a2+1, 3+(5-a)2, a4+a2+8
б) -a6-4a8-1, -a8-9
В пункте б) важно различать 'неположительные' и 'отрицательные'. Выражение -a4 принимает значение 0 при a=0, поэтому оно не подходит под критерий 'только отрицательные' (строгое неравенство < 0). Выражения с константами (-1, -9) гарантируют строгую отрицательность.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 412 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 412?
Краткий ответ: а) a^2 + 1, 3 + (5 - a)^2, a^4 + a^2 + 8; б) -a^6 - 4a^8 - 1, -a^8 - 9.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Степень и её свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.