ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 411: Степень и её свойства
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Объясните, почему выражения 4x2 и (x-8)2 всегда принимают неотрицательные значения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что выражения всегда принимают неотрицательные значения, нужно проанализировать структуру каждого из них. Мы будем опираться на два фундаментальных свойства алгебры: квадрат любого действительного числа неотрицателен (a2≥0) и произведение неотрицательных чисел также неотрицательно.
Вычисление и рассуждения:
Рассмотрим первое выражение 4x2. Оно представляет собой произведение числа 4 и квадрата переменной x, то есть 4·x2.
- Число 4 является положительным константой.
- Согласно определению степени с натуральным показателем, x2=x·x. Какое бы число мы ни подставили вместо x (положительное, отрицательное или ноль), его квадрат будет либо положительным числом, либо нулем. То есть x2≥0 для любого x.
- Произведение положительного числа (4) и неотрицательного числа (x2) всегда дает результат, больший или равный нулю. Следовательно, 4x2≥0.
Теперь рассмотрим второе выражение (x-8)2. Это квадрат разности двух величин.
- Обозначим разность в скобках как одно целое число a=x-8. Поскольку x — любое действительное число, то и a может быть любым действительным числом.
- Исходя из того же правила возведения в квадрат, которое мы использовали выше, квадрат любого действительного числа неотрицателен: a2≥0.
- Подставляя обратно a=x-8, получаем, что (x-8)2≥0 при любом значении x.
Проверка:
Давайте проверим наши выводы на конкретных примерах, чтобы убедиться в отсутствии ошибок.
- Для выражения 4x2:
- Если x=3, то 4·32=4·9=36>0.
- Если x=-2, то 4·(-2)2=4·4=16>0.
- Если x=0, то 4·02=0≥0.
- Для выражения (x-8)2:
- Если x=10, то (10-8)2=22=4>0.
- Если x=5, то (5-8)2=(-3)2=9>0.
- Если x=8, то (8-8)2=02=0≥0.
Квадрат любого числа неотрицателен, а умножение на положительное число сохраняет знак.
В решении использованы базовые свойства степеней и неравенств, доступные ученикам 7 класса. Акцент сделан на том, что переменная может быть отрицательной, но её степень с четным показателем (в данном случае 2) всегда становится положительной или нулевой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 411 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 411?
Краткий ответ: Квадрат любого числа неотрицателен, а умножение на положительное число сохраняет знак.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Степень и её свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.