ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 466: Степень и её свойства

План решения:

Нам дано, что a<0 (число отрицательное) и b>0 (число положительное). Чтобы сравнить выражения с нулём, нужно определить знак каждого множителя или суммы, опираясь на свойства степеней: 1. Чётная степень любого ненулевого числа положительна. 2. Нечётная степень сохраняет знак основания. 3. Произведение чисел разного знака отрицательно, одного знака — положительно.

Пошаговое вычисление:

• а) ab². Так как b>0, то b²>0. Умножаем отрицательное число a на положительное b²: результат отрицателен (<0).
• б) a^3b. Так как a<0, то нечётная степень a³<0. Умножаем отрицательное a³ на положительное b: результат отрицателен (<0).
• в) a^2b. Так как a≠0, то чётная степень a²>0. Умножаем положительное a² на положительное b: результат положителен (>0).
• г) ab³. Так как b>0, то b³>0. Умножаем отрицательное a на положительное b³: результат отрицателен (<0).
• д) -ab³. Из пункта г) мы знаем, что ab³<0. Перед этим отрицательным значением стоит минус, который меняет знак на противоположный: результат положителен (>0).
• е) a²+b². Оба слагаемых являются квадратами ненулевых чисел, значит, они строго положительны. Сумма двух положительных чисел всегда положительна (>0).
• ж) (a+b)². Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Если a+b≠0, то выражение >0. Если a+b=0 (например, a=-5,b=5), то выражение равно 0. В общем случае для произвольных a<0,b>0 без дополнительных условий о равенстве модулей, наиболее точный ответ: неотрицательно (≥0). Однако в школьной практике часто подразумевается общий случай, где сумма не равна нулю, тогда >0. Но строго математически: может быть 0 или >0.
• з) (a-b)². Аналогично пункту ж). Так как a<0 и b>0, то разность a-b — это «минус минус», то есть сумма двух отрицательных величин по модулю? Нет, a отрицательное, b положительное, значит -b отрицательное. Тогда a-b<0. Разность не равна нулю никогда (так как знаки разные). Следовательно, квадрат ненулевого числа строго положителен (>0).

Проверка и итоговый вывод:

Давайте подставим конкретные числа для проверки: пусть a=-2, b=3. а) (-2)·3²=-2·9=-18<0. Верно. б) (-2)³·3=-8·3=-24<0. Верно. в) (-2)²·3=4·3=12>0. Верно. г) (-2)·3³=-2·27=-54<0. Верно. д) -(-2)·3³=-(-54)=54>0. Верно. е) (-2)²+3²=4+9=13>0. Верно. ж) (-2+3)²=1²=1>0. (Если взять a=-3,b=3, то 0. Ответ зависит от конкретных значений, но обычно в таких задачах рассматривают знак выражения как функцию от знаков переменных. Для (a+b)² знак неопределён однозначно только если возможно равенство нулю. Но так как a и b просто имеют разные знаки, их сумма может быть любой. Тем не менее, квадрат всегда ≥0). з) (-2-3)²=(-5)²=25>0. Верно.