7 класс Степень и её свойства § 6. Степень и её свойства

ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 467: Степень и её свойства

Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 466 468 →

Условие

Определите, какой цифрой может заканчиваться

а) квадрат натурального числа

б) четвёртая степень натурального числа.

Квадрат

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения этой задачи нам нужно проанализировать последние цифры степеней всех возможных цифр от 0 до 9. Поскольку последняя цифра числа зависит только от последней цифры его основания, достаточно рассмотреть квадраты и четвёртые степени этих десяти цифр.

а) Квадрат натурального числа

Вычислим квадраты всех цифр и посмотрим на их последние цифры:

0²=0 (оканчивается на 0)
1²=1 (оканчивается на 1)
2²=4 (оканчивается на 4)
3²=9 (оканчивается на 9)
4²=16 (оканчивается на 6)
5²=25 (оканчивается на 5)
6²=36 (оканчивается на 6)
7²=49 (оканчивается на 9)
8²=64 (оканчивается на 4)
9²=81 (оканчивается на 1)

Соберём все уникальные полученные последние цифры: 0,1,4,5,6,9. Таким образом, квадрат натурального числа может заканчиваться только на эти цифры. Цифры 2,3,7,8 невозможны.

б) Четвёртая степень натурального числа

Четвёртую степень можно получить, возведя в квадрат уже полученный квадрат числа (n⁴=(n²)²). Мы знаем, что квадрат оканчивается на 0,1,4,5,6,9. Теперь найдём последние цифры квадратов этих чисел:

Если квадрат оканчивается на 0, то 0²=0.
Если квадрат оканчивается на 1, то 1²=1.
Если квадрат оканчивается на 4, то 4²=16 (оканчивается на 6).
Если квадрат оканчивается на 5, то 5²=25 (оканчивается на 5).
Если квадрат оканчивается на 6, то 6²=36 (оканчивается на 6).
Если квадрат оканчивается на 9, то 9²=81 (оканчивается на 1).

Итак, возможные последние цифры для четвёртой степени: 0,1,5,6. Проверим это напрямую для цифр 0-9: 0⁴=0,1⁴=1,2⁴=16,3⁴=81,4⁴=256,5⁴=625,6⁴=1296,7⁴=2401,8⁴=4096,9⁴=6561. Видим те же окончания: 0,1,6,1,6,5,6,1,6,1. Уникальные значения: 0,1,5,6.

Ответ

а) 0, 1, 4, 5, 6, 9

б) 0, 1, 5, 6

Решение построено на переборе последних цифр оснований. Для пункта а) рассматриваются квадраты цифр 0-9. Для пункта б) используется свойство n^4 = (n^2)^2 или прямой подсчет четвертых степеней цифр 0-9. Ответы совпадают с общепринятыми математическими фактами.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 467 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 467?

Краткий ответ: а) 0, 1, 4, 5, 6, 9; б) 0, 1, 5, 6.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Степень и её свойства.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.