ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 511: Функции y = x² и y = x³ и их графики

План решения:

Для графического решения уравнения вида f(x)=g(x) необходимо построить графики двух функций: y=f(x) и y=g(x) в одной системе координат. Абсциссы (координаты x) точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.

Решение пункта а)

Уравнение: x³=4x.
1. Построим график функции y=x³. Это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0;0), точки (1;1), (-1;-1), (2;8), (-2;-8).
2. Построим график функции y=4x. Это прямая линия, проходящая через начало координат (0;0) и точку (1;4), так как угловой коэффициент равен 4.
3. Найдем точки пересечения. Очевидно, что одна точка — это начало координат O(0;0).
4. Проверим другие возможные целые значения. Если x=2, то для первой функции y=2³=8, а для второй y=4·2=8. Точки совпадают, значит, (2;8) — точка пересечения.
5. Так как обе функции нечетные (f(-x)=-f(x)), их графики симметричны относительно начала координат. Следовательно, если есть точка пересечения (2;8), то есть и точка (-2;-8). Проверка: (-2)³=-8 и 4·(-2)=-8. Верно.
6. Таким образом, графики пересекаются в трех точках с абсциссами x₁=-2, x₂=0, x₃=2.

Решение пункта б)

Уравнение: x³=-x+3.
1. Построим график функции y=x³ (как в пункте а).
2. Построим график функции y=-x+3. Это линейная функция. Для построения найдем две точки:
• При x=0, y=3. Точка (0;3).
• При y=0, -x+3=0⇒x=3. Точка (3;0).
Проведем прямую через эти точки.
3. Ищем точку пересечения. Посмотрим на поведение графиков в области положительных значений x.
При x=1: y=x³=1, y=-1+3=2. Прямая выше параболы.
При x=2: y=x³=8, y=-2+3=1. Парабола резко ушла вверх, прямая осталась низкой. Значит, пересечение находится между x=1 и x=2.
Попробуем найти точное значение или приближенное. В школьном курсе часто требуются целые корни или простые дроби. Попробуем подставить x=1.5? 1.5³=3.375, -1.5+3=1.5. Не подходит.
Давайте проверим, нет ли ошибки в интерпретации «решить графически». Обычно подразумевается нахождение корней по чертежу. Однако давайте проверим алгебраически, чтобы убедиться в наличии «красивого» корня. Уравнение x³+x-3=0. Функция h(x)=x³+x-3 возрастает (производная 3x²+1>0), значит корень один.
h(1)=1+1-3=-1.
h(2)=8+2-3=7.
Корень лежит между 1 и 2. Он не является целым числом. В задачах такого типа для 7 класса иногда допускается ответ в виде «корень принадлежит промежутку» или требуется приближенное чтение с графика. Но чаще всего в таких учебниках встречаются задачи с целыми корнями. Перепроверим условие. Возможно, опечатка в ключе или условии? Нет, решаем строго по условию.
Если требуется именно графическое решение, мы строим графики и видим одну точку пересечения. Ее абсцисса x₀ удовлетворяет неравенству 1<x₀<2. Более точно, так как 1.2³=1.728, -1.2+3=1.8 (близко), 1.3³=2.197, -1.3+3=1.7 (парабола уже выше). Корень около 1.21.
Важное замечание: В стандартных задачах этого уровня (Макарычев, Мерзляк и др.) пункт б) часто имеет вид x³=-x+2 или похожий, где корень x=1. Но при x³=-x+3 целый корень отсутствует. Графически мы фиксируем единственную точку пересечения. Ответ записывается как единственный корень x₀, который можно определить только приближенно по чертежу. Однако, если предположить, что в задаче подразумевается нахождение всех реальных корней, то он один.

Проверка наличия других корней: при x<0 левая часть x³ отрицательна, правая -x+3 положительна (так как -x>0). Равенство невозможно. Значит, корень только один.

Ответ:

• а) x₁=-2,x₂=0,x₃=2;
• б) единственный корень x₀≈1.2 (или 1<x₀<2).