ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 539: дроби

Для доказательства того, что значение дроби является натуральным числом при любом натуральном n, нам нужно показать, что числитель делится на знаменатель без остатка. Мы будем использовать свойства записи натуральных чисел в десятичной системе счисления.

а) Дробь 10ⁿ-1/9

1. Рассмотрим выражение 10ⁿ. Это единица с n нулями (например, если n=3, то 10³=1000).
2. Вычтем из него 1: 10ⁿ-1. Получится число, состоящее из n девяток (например, 1000-1=999).
3. Такое число можно записать как сумму: 9+90+900+…+9·10^n-1=9(1+10+100+…+10^n-1).
4. Подставим это в дробь: 10ⁿ-1/9=9(1+10+…+10^n-1)/9=1+10+…+10^n-1
5. Полученная сумма — это число, состоящее из n единиц (например, для n=3 это 1+10+100=111). Оно является натуральным.

б) Дробь 10ⁿ+8/9

1. Заметим, что 10ⁿ+8 можно представить как (10ⁿ-1)+9.
2. Тогда дробь раскладывается на два слагаемых: 10ⁿ+8/9=(10ⁿ-1)+9/9=10ⁿ-1/9+9/9
3. Из пункта а) мы знаем, что 10ⁿ-1/9 — это натуральное число (число из n единиц).
4. 9/9=1 — тоже натуральное число.
5. Сумма двух натуральных чисел всегда натуральна. Например, при n=2: 100+8/9=108/9=12, где 12=11+1.

в) Дробь 10ⁿ-4/3

1. Представим числитель так, чтобы выделить множитель, кратный 3. Заметим, что 10ⁿ-4=(10ⁿ-1)-3.
2. Разобьем дробь на две части: 10ⁿ-4/3=(10ⁿ-1)-3/3=10ⁿ-1/3-3/3
3. Вспомним результат из пункта а): 10ⁿ-1/9 — целое число. Обозначим его через A. Тогда 10ⁿ-1=9A.
4. Подставим это в наше выражение: 9A/3-1=3A-1
5. Так как A — натуральное число, то 3A делится на 3 и является натуральным. Вычитание 1 из натурального числа 3A (где 3A≥3 при n≥1) дает натуральное число.
6. Проверка для n=1: 10-4/3=6/3=2 (натуральное). Для n=2: 100-4/3=96/3=32 (натуральное).