ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 541: неравенства

План решения:

Чтобы доказать, что уравнение не имеет корней, нужно показать, что левая часть уравнения всегда строго больше нуля (или строго меньше нуля) при любых допустимых значениях переменной x. Для этого воспользуемся свойством квадратов действительных чисел: квадрат любого числа неотрицателен, то есть a²≥0.

Решение пункта а)

Рассмотрим уравнение x²+1=0. Для любого действительного числа x выполняется неравенство x²≥0. Если к обеим частям этого неравенства прибавить единицу, получим: x²+1≥0+1 x²+1≥1 Так как минимальное значение выражения x²+1 равно 1, оно никогда не может быть равным нулю. Следовательно, уравнение x²+1=0 не имеет корней.

Решение пункта б)

Рассмотрим уравнение 2x⁶+3x⁴+x²+1=0. Заметим, что все переменные слагаемые содержат четные степени x: x⁶=(x³)², x⁴=(x²)², x². Следовательно, для любого действительного числа x выполняются неравенства: x⁶≥0, x⁴≥0, x²≥0. Умножая эти неравенства на положительные коэффициенты, сохраняем знак неравенства: 2x⁶≥0 3x⁴≥0 x²≥0 Сложив все эти неотрицательные слагаемые и добавив свободный член 1, получаем оценку для всей левой части уравнения: 2x⁶+3x⁴+x²+1≥0+0+0+1 2x⁶+3x⁴+x²+1≥1 Левая часть уравнения всегда больше или равна 1, поэтому она не может обратиться в ноль. Значит, уравнение 2x⁶+3x⁴+x²+1=0 не имеет корней.

Проверка:

В обоих случаях мы опирались на фундаментальное свойство действительных чисел: сумма неотрицательных величин и положительной константы всегда положительна. Это исключает возможность равенства нулю. Доказательства корректны.