ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 543: уравнения

План решения:

Чтобы доказать, что уравнение не имеет положительных корней, предположим обратное: пусть существует число x>0, которое является корнем уравнения. Мы проанализируем знак каждой части левой стороны уравнения при таком условии и покажем, что сумма не может быть равна нулю.

Вычисление и рассуждения:

Рассмотрим левую часть уравнения: x⁴+3x³+2x²+x+6.

• Если x>0, то любая положительная степень x также строго больше нуля. Следовательно, x⁴>0, x³>0, x²>0 и x>0.
• Коэффициенты при переменных (1,3,2,1) являются положительными числами. Произведение положительного числа на положительную степень x дает положительный результат. Значит, слагаемые x⁴, 3x³, 2x² и x строго положительны.
• Свободный член равен 6, что также является положительным числом (6>0).

Таким образом, при любом x>0 каждое из пяти слагаемых левой части уравнения строго больше нуля. Сумма нескольких строго положительных чисел всегда строго положительна. То есть, если x>0, то:

Это означает, что значение выражения никогда не может равняться нулю для положительных значений x.

Проверка и вывод:

Мы показали, что при x>0 левая часть уравнения принимает только положительные значения. Поскольку правая часть уравнения равна 0, равенство невозможно. Следовательно, наше предположение о наличии положительного корня привело к противоречию. Уравнение действительно не имеет положительных корней.