ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 591: Сумма и разность многочленов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать, что многочлен x2+y2+1 принимает только положительные значения при любых значениях x и y.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Чтобы доказать, что многочлен принимает только положительные значения, нужно представить его в виде суммы квадратов и положительной константы.
- Вспомним свойство: квадрат любого действительного числа неотрицателен (a2≥0).
- Проанализируем каждое слагаемое данного выражения отдельно.
Вычисление и рассуждения:
Рассмотрим данный многочлен: x2+y2+1
Разберём свойства каждого слагаемого при любых действительных значениях переменных x и y:
- Так как x — любое действительное число, то его квадрат всегда неотрицателен: x2≥0
- Аналогично, для переменной y: y2≥0
- Число 1 является строго положительным константой: 1>0
Теперь сложим эти неравенства. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: x2+y2≥0
Если к этому результату прибавить единицу, получаем: x2+y2+1≥0+1
То есть: x2+y2+1≥1
Проверка и вывод:
Мы получили, что значение многочлена всегда больше или равно 1. Поскольку 1>0, то и всё выражение строго больше нуля.
Даже если x=0 и y=0 (минимальные возможные значения для квадратов), результат будет равен 1, что является положительным числом. При других значениях x и y результат будет ещё больше.
Следовательно, утверждение доказано: многочлен x2+y2+1 принимает только положительные значения при любых значениях x и y.
Доказано: так как x2≥0, y2≥0 и 1>0, то сумма x2+y2+1≥1>0.
Задача на применение свойств неотрицательности квадрата. Ключевой момент — понимание того, что минимальное значение суммы неотрицательных слагаемых достигается, когда все они равны нулю, но наличие константы +1 гарантирует строгую положительность.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 591 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 591?
Краткий ответ: Доказано: так как x^2 0, y^2 0 и 1 > 0, то сумма x^2 + y^2 + 1 1 > 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Сумма и разность многочленов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.