ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 597: Сложение и вычитание многочленов

План решения:

Сначала выполним проверку утверждения для конкретных чисел из пунктов а), б), в) и г). Для этого вычислим значение выражения abb-b-a (где a — первая цифра, b — вторая, повторяющаяся дважды) и разделим результат на 37. Затем представим число вида abb в виде суммы разрядных слагаемых, упростим алгебраическое выражение и покажем, что оно всегда содержит множитель 37.

Вычисление и проверка частных случаев:

а) Число 2555. Здесь a=2, b=5. Выражение: 2555-5-2=2548. Проверка делимости: 2548:37=69. Делится без остатка.

б) Число 7111. Здесь a=7, b=1. Выражение: 7111-1-7=7103. Проверка делимости: 7103:37=191.97... (Стоп, пересчитаем внимательно условие задачи) . В условии сказано «разность вида abb-b-a». Обычно в таких задачах под abb подразумевается трёхзначное число или четырёхзначное? Посмотрим на примеры: 2555 — это четыре цифры. Но запись abb обычно означает трёхзначное число (100a+10b+b). Однако примеры 2555-2 и 7111-7 указывают на то, что речь идёт о четырёхзначном числе вида abbb? Или всё-таки опечатка в трактовке?

Давайте посмотрим на структуру примеров: 2555-2. Если это число 2555, то a=2,b=5. Вычли b+a? Нет, вычли только 2? В условии написано: «разность вида abb-b-a». А примеры: «а) 2555-2». Это странно. 2555-2=2553. 2553/37=69. Делится. Значит, в примере а) вычли только a? Или b? 2555-5=2550 (не делится). 2555-2=2553 (делится).

Пример б) 7111-7. 7111-7=7104. 7104/37=192. Делится. Здесь вычли a=7.

Пример в) 8999-8. 8999-8=8991. 8991/37=243. Делится. Здесь вычли a=8.

Пример г) 9666-9. 9666-9=9657. 9657/37=261. Делится. Здесь вычли a=9.

Вывод по формулировке: Судя по примерам, в условии задачи допущена неточность записи или специфическая нотация. Примеры показывают операцию N-a, где N — число вида abbb (четыре цифры: одна a и три b)? Нет, числа 2555,7111,8999,9666 имеют вид abbb (первая цифра a, остальные три b). И от них вычитается a. Но текст условия говорит «abb-b-a». Возможно, имелось в виду число вида abbb? Или же примеры даны неверно относительно текста «abb-b-a»? Давайте проверим гипотезу: может быть, в тексте учебника опечатка, и нужно доказать для чисел вида abbb? Или для abb (трёхзначных)? Если abb — трёхзначное число (100a+11b), то abb-b-a=100a+10b-a=99a+10b. Не очевидно деление на 37. Если abbb — четырёхзначное число (1000a+111b), то abbb-a=999a+111b=111(9a+b)=3×37×(9a+b). Это делится на 37! Итак, примеры 2555-2 соответствуют формуле abbb-a. Где a=2,b=5. 2555-2=2553. 2553/37=69. Верно. Однако в условии написано «abb-b-a». Это противоречие между текстом условия и примерами. Как учитель, я должен следовать логике примеров, так как они являются частью задания («Сначала проверить утверждение для чисел...»). Утверждение, которое проверяется примерами, скорее всего, относится к числам вида abbb (или аналогичным конструкциям, дающим кратность 37). Но давайте перечитаем условие ещё раз: «Доказать, что разность вида abb-b-a делится на 37». Может быть, abb здесь обозначает не трёхзначное число, а произведение? Нет, контекст 7 класса, многочлены. Часто в старых учебниках abc обозначает число. Здесь скобок нет. Если мы строго следуем тексту «abb-b-a», то для 2555 это не подходит. Однако, если посмотреть на пункт а) 2555-2, то это можно записать как abbb-a. А пункт б) 7111-7 это abbb-a. Похоже, в условии задачи опечатка: вместо abbb-a написано abb-b-a или примеры взяты из другой задачи. Тем не менее, есть классическая задача: Доказать, что число abbb-baaa или подобное делится на 37. Давайте попробуем интерпретировать abb как abb (трёхзначное). Тогда abb-b-a=100a+10b+b-b-a=99a+10b. Не делится на 37 всегда. Есть другая возможность: В условии имеется в виду число abbb? Нет, там написано abb. Может быть, примеры 2555-2 означают 2555-2? Да. А общее доказательство должно быть для abbb-a? Или, возможно, в условии пропущена буква b: abbb-b-a? 2555-5-2=2548. 2548/37=68.8. Не делится. Значит, примеры однозначно указывают на вычитание только первой цифры a из числа abbb. Так как я не могу менять условие, но обязан дать решение, я предположу, что в условии задачи под «abb» подразумевается четырёхзначное число с тремя одинаковыми последними цифрами (опечатка в индексе или обозначении в источнике), либо примеры иллюстрируют частный случай более общего свойства. Однако, наиболее вероятная ошибка в переписывании условия: должно быть «Доказать, что разность вида abbb-a делится на 37». Я напишу решение, опираясь на данные примеры, так как они являются частью задания. Я докажу, что для числа вида abbb разность с его первой цифрой a делится на 37. Также я упомяну, что если строго следовать тексту «abb-b-a», то примеры не совпадают, но будем считать, что цель — показать работу с разрядными единицами и делимостью на 37 через число 111. Общее доказательство (для случая, соответствующего примерам): Рассмотрим четырёхзначное число вида abbb, где a — цифра тысяч, b — цифра сотен, десятков и единиц. Запишем число в виде суммы разрядных слагаемых: abbb=1000a+100b+10b+b=1000a+111b Вычтем из него цифру a (как показано в примерах): abbb-a=1000a+111b-a=999a+111b Вынесем общий множитель 111 за скобки: 999a+111b=111(9a+b) Разложим 111 на простые множители: 111=3·37 Подставим обратно: 111(9a+b)=3·37·(9a+b) Так как a и b — целые числа, то (9a+b) — целое число. Следовательно, полученное выражение содержит множитель 37, а значит, делится на 37 без остатка. Проверка: Мы показали, что любое число вида abbb минус его первая цифра a делится на 37. Это полностью согласуется с пунктами а)-г) задания.