ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 61: Числа и выражения
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Кирилл Панов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
а) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
б) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
в) Проведите доказательство.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для выполнения задания разобьем работу на три этапа. Сначала проверим утверждение на конкретных примерах из указанных десятков (3-й и 7-й). Затем обсудим логическую основу свойства, опираясь на деление с остатком. Наконец, проведем строгое алгебраическое доказательство для любого простого числа p≥5.
1) Проверка на примерах
Возьмем простые числа из третьего десятка (от 20 до 30): это 23 и 29 .
- Для числа 23: увеличенное на 1 дает 23+1=24, а уменьшенное на 1 дает 23-1=22. Число 24 делится на 6 (24:6=4).
- Для числа 29: увеличенное на 1 дает 29+1=30, а уменьшенное на 1 дает 29-1=28. Число 30 делится на 6 (30:6=5).
Теперь возьмем простые числа из седьмого десятка (от 60 до 70): это 61 , 67 .
- Для числа 61: 61-1=60, что делится на 6 (60:6=10).
- Для числа 67: 67-1=66, что делится на 6 (66:6=11).
Во всех случаях либо p-1, либо p+1 кратно 6.
2) Обсуждение справедливости свойства
Любое натуральное число при делении на 6 может давать остаток 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Рассмотрим возможные случаи для простого числа p>3:
- Если остаток 0, то p делится на 6, значит, оно составное (кроме случая p=6, но 6 не простое).
- Если остаток 2 или 4, то p четное. Единственное четное простое число — 2, но по условию p≥5. Значит, такие остатки невозможны.
- Если остаток 3, то p делится на 3. Единственное простое число, делящееся на 3, — это само 3, но p≥5. Значит, этот остаток тоже невозможен.
Остаются только два варианта: остаток 1 или остаток 5. Если остаток 1, то p-1 делится на 6. Если остаток 5, то p+1 делится на 6 (так как 5+1=6).
3) Доказательство
Пусть p — простое число, такое что p≥5. Представим p в виде p=6k+r, где r∈{0,1,2,3,4,5} — остаток от деления на 6.
- Если r=0, то p=6k, что противоречит простоте p (так как p>3).
- Если r=2 или r=4, то p четно и больше 2, следовательно, составное.
- Если r=3, то p делится на 3 и больше 3, следовательно, составное.
Таким образом, единственно возможными остатками являются r=1 и r=5.
- Случай r=1: p=6k+1. Тогда p-1=6k, что явно делится на 6.
- Случай r=5: p=6k+5. Тогда p+1=6k+6=6(k+1), что также делится на 6.
Доказано, что для всякого простого числа p≥5 одно из чисел p-1 или p+1 делится на 6.
Проверено на примерах (23, 29, 61, 67). Доказательство основано на том, что любое простое число p≥5 имеет вид 6k+1 или 6k+5. В первом случае p-1 делится на 6, во втором — p+1.
Решение структурировано согласно пунктам задания. Использована классификация остатков при делении на 6. Формулы записаны в TeX.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 61 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 61?
Краткий ответ: Проверено на примерах (23, 29, 61, 67). Доказательство основано на том, что любое простое число p 5 имеет вид 6k+1 или 6k+5. В первом случае p-1 делится на 6, во втором — p+1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Числа и выражения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.