ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 644: Сложение и вычитание многочленов

План решения:

Чтобы доказать тождественное равенство нулю, необходимо раскрыть скобки в каждом слагаемом выражения, используя правило умножения одночлена на многочлен. После этого нужно привести подобные слагаемые. Если сумма всех коэффициентов при одинаковых переменных окажется равной нулю, то всё выражение равно нулю.

Решение пункта а)

Дано выражение: a(b-c)+b(c-a)+c(a-b).

1. Раскроем скобки в первом слагаемом: a·b-a·c=ab-ac.
2. Раскроем скобки во втором слагаемом: b·c-b·a=bc-ab.
3. Раскроем скобки в третьем слагаемом: c·a-c·b=ca-cb (или ac-bc).

Сложим полученные результаты:

Группируем подобные слагаемые:

• ab-ab=0;
• -ac+ac=0;
• bc-bc=0.

Итог: 0+0+0=0. Выражение тождественно равно нулю.

Решение пункта б)

Дано выражение: a(b+c-bc)-b(c+a-ac)+c(b-a).

1. Раскроем скобки в первой части: a·b+a·c-a·bc=ab+ac-abc.
2. Раскроем скобки во второй части (учитывая знак минус перед скобкой): -(b·c+b·a-b·ac)=-(bc+ab-abc)=-bc-ab+abc.
3. Раскроем скобки в третьей части: c·b-c·a=bc-ac.

Запишем полное выражение после раскрытия скобок:

Приведём подобные слагаемые:

• ab-ab=0;
• ac-ac=0;
• -abc+abc=0;
• -bc+bc=0.

Итог: 0. Выражение тождественно равно нулю.

Проверка:

В обоих случаях каждое положительное слагаемое имеет соответствующее отрицательное с тем же набором переменных. Это подтверждает правильность алгебраических преобразований и доказывает исходное утверждение.