ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 681: Вынесение общего множителя за скобки
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
(Для работы в парах) Докажите, что
а) 78 - 77 + 76 делится на 43
б) 213 - 210 - 29 делится на 13
в) 274 - 95 + 39 делится на 25
г) 164 - 213 - 45 делится на 110. Далее следуют инструкции по работе в парах.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче нам нужно доказать делимость числовых выражений на заданные числа. Основной метод — вынесение общего множителя за скобки (произведение одночлена и многочлена). Мы представим каждое слагаемое в виде произведения степени основания и некоторого коэффициента, чтобы найти общий множитель.
а) Докажем, что 78-77+76 делится на 43.
Вынесем за скобки наименьшую степень, то есть 76:
78-77+76=76·(72-71+1)
Вычислим значение выражения в скобках: 72=49, значит 49-7+1=43.
Получаем: 76·43. Так как одним из множителей является число 43, всё произведение делится на 43 без остатка. Утверждение доказано.
б) Докажем, что 213-210-29 делится на 13.
Наименьшая степень здесь 29. Вынесем её за скобки:
213-210-29=29·(24-21-1)
Вычислим выражение в скобках: 24=16, тогда 16-2-1=13.
Получаем: 29·13. Поскольку множитель 13 присутствует явно, сумма делится на 13. Утверждение доказано.
в) Докажем, что 274-95+39 делится на 25.
Здесь основания разные (27,9,3), но все они являются степенями тройки. Приведем их к общему основанию 3:
- 274=(33)4=312
- 95=(32)5=310
- 39 оставляем как есть.
Теперь выражение имеет вид: 312-310+39.
Вынесем наименьшую степень 39 за скобки:
39·(33-31+1)
Вычислим скобку: 33=27, тогда 27-3+1=25.
Получаем: 39·25. Произведение содержит множитель 25, следовательно, оно делится на 25. Утверждение доказано.
г) Докажем, что 164-213-45 делится на 110.
Приведем все степени к основанию 2:
- 164=(24)4=216
- 213 оставляем как есть.
- 45=(22)5=210
Выражение принимает вид: 216-213-210.
Вынесем наименьшую степень 210 за скобки:
210·(26-23-1)
Вычислим значения в скобках: 26=64, 23=8.
Скобка равна: 64-8-1=55.
Получаем: 210·55. Нам нужно проверить делимость на 110. Заметим, что 110=2·55.
Наше произведение можно переписать так:
210·55=29·2·55=29·110
Так как мы получили множитель 110, исходное выражение делится на 110. Утверждение доказано.
Доказательства приведены в решении.
Для пунктов а) и б) достаточно прямого вынесения общего множителя. В пункте в) требуется предварительное приведение всех степеней к одному основанию (3). В пункте г) также требуется приведение к основанию 2, а затем анализ полученного произведения 210·55 на предмет наличия множителя 110 (разложение 110=2·55).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 681 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 681?
Краткий ответ: Доказательства приведены в решении.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 28. Вынесение общего множителя за скобки.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.