ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 711: Вынесение общего множителя за скобки

План решения:

Чтобы доказать делимость выражения на число, нужно сначала упростить его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Если в результате получится произведение исходного числа n на некоторый множитель, то при условии, что этот множитель делится на требуемое число, всё выражение будет делиться на это число.

Решение пункта а)

Рассмотрим выражение n(n-1)-(n+3)(n+2). Раскроем скобки: n(n-1)=n²-n (n+3)(n+2)=n²+2n+3n+6=n²+5n+6 Вычтем второе произведение из первого: (n²-n)-(n²+5n+6)=n²-n-n²-5n-6 Приведём подобные слагаемые: n²-n²-n-5n-6=-6n-6 Вынесем общий множитель за скобки: -6n-6=-6(n+1) Так как n — целое число, то (n+1) также является целым числом. Выражение представлено в виде произведения -6 и целого числа. Поскольку множитель -6 делится на 6, то и всё произведение -6(n+1) делится на 6 при любом целом n.

Решение пункта б)

Рассмотрим выражение n(n+2)-(n-7)(n-5). Раскроем скобки: n(n+2)=n²+2n (n-7)(n-5)=n²-5n-7n+35=n²-12n+35 Вычтем второе произведение из первого: (n²+2n)-(n²-12n+35)=n²+2n-n²+12n-35 Приведём подобные слагаемые: n²-n²+2n+12n-35=14n-35 Вынесем общий множитель за скобки. Заметим, что оба числа делятся на 7: 14n-35=7(2n-5) Так как n — целое число, то выражение (2n-5) также принимает только целые значения. Мы получили произведение числа 7 на целое число. Следовательно, значение исходного выражения делится на 7 при всех целых n.