ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 715: Вынесение общего множителя за скобки
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Вера Лапина, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что: а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) кратно 6; б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения (n - 1)(n+1)-(n-7)(n - 5) кратно 12.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать делимость выражения на число, нужно сначала упростить его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. После упрощения мы должны получить результат, который явно содержит множитель, кратный требуемому числу (6 для пункта а и 12 для пункта б).
Вычисление:
а) Рассмотрим выражение n(n+5)-(n-3)(n+2).
- Раскроем первую часть: n(n+5)=n2+5n.
- Раскроем вторую часть как произведение многочленов: (n-3)(n+2)=n2+2n-3n-6=n2-n-6.
- Подставим полученные результаты в исходное выражение, не забывая поменять знаки при вычитании второго многочлена: (n2+5n)-(n2-n-6)=n2+5n-n2+n+6
- Приведём подобные слагаемые: n2-n2 сокращается, остаётся 5n+n+6=6n+6.
- Вынесем общий множитель за скобки: 6n+6=6(n+1).
Так как n — натуральное число, то n+1 также является целым числом. Следовательно, произведение 6(n+1) всегда кратно 6.
б) Рассмотрим выражение (n-1)(n+1)-(n-7)(n-5) при n>2.
- Первая часть представляет собой разность квадратов: (n-1)(n+1)=n2-1.
- Раскроем вторую часть: (n-7)(n-5)=n2-5n-7n+35=n2-12n+35.
- Вычтем второе выражение из первого: (n2-1)-(n2-12n+35)=n2-1-n2+12n-35
- Приведём подобные слагаемые: n2-n2=0, -1-35=-36. Остаётся 12n-36.
- Вынесем общий множитель 12: 12n-36=12(n-3).
По условию n — натуральное число, большее 2. Значит, n≥3, и выражение (n-3) является целым неотрицательным числом. Таким образом, произведение 12(n-3) всегда кратно 12.
Проверка:
Для пункта а) возьмём n=1: 1(6)-(-2)(3)=6-(-6)=12, что кратно 6. Формула 6(1+1)=12 совпадает. Для пункта б) возьмём n=3: (2)(4)-(-4)(-2)=8-8=0, что кратно 12. Формула 12(3-3)=0 совпадает. Возьмём n=4: (3)(5)-(-3)(-1)=15-3=12, что кратно 12. Формула 12(4-3)=12 совпадает. Доказательства верны.
а) 6(n+1)
б) 12(n-3)
В обоих случаях ключевым шагом является аккуратное раскрытие скобок и приведение подобных членов. В пункте а) квадратичные члены сокращаются, оставляя линейное выражение с коэффициентом 6. В пункте б) аналогично сокращаются квадраты, а свободные члены дают константу, кратную 12.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 715 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 715?
Краткий ответ: а) 6(n+1); б) 12(n-3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 28. Вынесение общего множителя за скобки.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.