ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 724: Разложение многочлена на множители способом группировки

Для решения этой задачи мы будем использовать метод группировки. Наша цель — представить многочлен в виде произведения двух множителей. Для этого нужно найти общий множитель в группах слагаемых и вынести его за скобки.

1. а) x(b+c)+3b+3c
   Сгруппируем последние два слагаемых: 3b+3c=3(b+c).
   Теперь выражение выглядит так: x(b+c)+3(b+c).
   Общий множитель здесь — (b+c). Вынесем его за скобки:
   (b+c)(x+3)
2. б) y(a-c)+5a-5c
   Вынесем общий множитель 5 из последних двух слагаемых: 5a-5c=5(a-c).
   Получаем: y(a-c)+5(a-c).
   Общий множитель — (a-c). Выносим его:
   (a-c)(y+5)
3. в) p(c-d)+c-d
   Заметим, что c-d можно представить как 1×(c-d).
   Тогда выражение примет вид: p(c-d)+1(c-d).
   Общий множитель — (c-d). Выносим его за скобки:
   (c-d)(p+1)
4. г) a(p-q)+q-p
   Здесь нужно быть внимательным со знаками. Заметим, что q-p=-(p-q).
   Подставим это в исходное выражение: a(p-q)-(p-q).
   Можно считать, что перед второй скобкой стоит коэффициент -1: a(p-q)-1(p-q).
   Общий множитель — (p-q). Выносим его:
   (p-q)(a-1)

Проверка: раскроем скобки в полученных произведениях, чтобы убедиться, что мы вернулись к исходным многочленам.
а) (b+c)(x+3)=bx+3b+cx+3c=x(b+c)+3(b+c) — верно.
б) (a-c)(y+5)=ay+5a-cy-5c=y(a-c)+5(a-c) — верно.
в) (c-d)(p+1)=cp+c-dp-d=p(c-d)+(c-d) — верно.
г) (p-q)(a-1)=ap-a-pq+q=a(p-q)-(p-q)=a(p-q)+q-p — верно.