ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 744

План решения.

Чтобы доказать делимость числа ab+1 на 3, воспользуемся определением деления с остатком. Так как целые числа a и b при делении на 3 дают разные остатки, не равные нулю, то возможные остатки — это только 1 и 2. Нам нужно рассмотреть два случая: когда a дает остаток 1, а b — остаток 2, и наоборот (или просто записать общее представление таких чисел).

Вычисление и доказательство.

Запишем числа a и b в виде:

• a=3k+r₁, где r₁∈{1,2};
• b=3m+r₂, где r₂∈{1,2}.

По условию остатки разные, значит, один из них равен 1, а другой — 2. Не нарушая общности, пусть r₁=1 и r₂=2. Тогда:

Найдем произведение ab:

Теперь прибавим к этому произведению единицу, чтобы получить выражение ab+1:

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 3 за скобки:

Так как k и m — целые числа, то выражение в скобках (3km+2k+m+1) также является целым числом. Обозначим его через N. Тогда ab+1=3N, что означает, что сумма ab+1 делится на 3 без остатка.

Проверка.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть a=4 (остаток 1 при делении на 3) и b=5 (остаток 2 при делении на 3). Остатки разные и не равны нулю.

Вычислим ab+1: 4·5+1=20+1=21.

Число 21 делится на 3 (21:3=7). Утверждение верно.