ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 745

План решения:

Чтобы проверить, делится ли произведение ab(a+b)(a-b) на 3 при любых целых a и b, воспользуемся методом перебора остатков от деления на 3. Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Нам нужно рассмотреть все возможные комбинации остатков для чисел a и b и убедиться, что хотя бы один из множителей (a, b, a+b или a-b) всегда делится на 3.

Вычисление (перебор случаев):

Рассмотрим три основных случая в зависимости от остатка числа a при делении на 3:

• Случай 1: Если a делится на 3 (остаток 0), то множитель a кратен 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.
• Случай 2: Если a дает остаток 1 при делении на 3. Тогда рассмотрим возможные остатки для b:
  • Если b делится на 3 (остаток 0), то множитель b кратен 3.
  • Если b дает остаток 1, то разность a-b дает остаток 1-1=0. Значит, a-b делится на 3.
  • Если b дает остаток 2, то сумма a+b дает остаток 1+2=3≡0. Значит, a+b делится на 3.
• Случай 3: Если a дает остаток 2 при делении на 3. Аналогично рассматриваем b:
  • Если b делится на 3 (остаток 0), то множитель b кратен 3.
  • Если b дает остаток 2, то разность a-b дает остаток 2-2=0. Значит, a-b делится на 3.
  • Если b дает остаток 1, то сумма a+b дает остаток 2+1=3≡0. Значит, a+b делится на 3.

Проверка и вывод:

Мы рассмотрели все возможные варианты остатков от деления a и b на 3. В каждом случае оказалось, что хотя бы один из множителей произведения ab(a+b)(a-b) делится на 3 без остатка. Это означает, что само произведение также будет делиться на 3.

Ответ: Да, верно.