ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 749

План решения. Чтобы доказать, что произведение n(2n+1)(7n+1) делится на 6, достаточно показать, что оно делится одновременно на 2 и на 3. Число 6=2·3, и так как множители 2 и 3 взаимно просты, то делимость на их произведение следует из делимости на каждый из них отдельно. Будем рассматривать выражение по модулю 2 и по модулю 3.

Вычисление.

1. Делимость на 2. Рассмотрим два случая для натурального числа n:
   • Если n — четное число, то первый множитель n делится на 2, значит, и все произведение делится на 2.
   • Если n — нечетное число, то представим его в виде n=2k+1. Тогда второй множитель 2n+1=2(2k+1)+1=4k+3 является нечетным. Однако посмотрим на третий множитель: 7n+1. Если n нечетное, то 7n также нечетное (произведение нечетных чисел), а сумма нечетного числа и единицы (7n+1) будет четной. Следовательно, если n нечетное, то (7n+1) делится на 2.
   В любом случае хотя бы один из множителей делится на 2, поэтому всё произведение делится на 2.
2. Делимость на 3. Рассмотрим остатки от деления n на 3. Возможны три случая:
   • Если n делится на 3 (т.е. n≡0pmod3), то первый множитель n кратен 3.
   • Если при делении n на 3 остаток равен 1 (т.е. n≡1pmod3), то рассмотрим второй множитель: 2n+1≡2·1+1=3≡0pmod3. Значит, 2n+1 делится на 3.
   • Если при делении n на 3 остаток равен 2 (т.е. n≡2pmod3), то рассмотрим третий множитель: 7n+1. Так как 7≡1pmod3, то 7n+1≡1·n+1≡2+1=3≡0pmod3. Значит, 7n+1 делится на 3.
   Таким образом, при любом натуральном n один из множителей делится на 3, следовательно, всё произведение делится на 3.

Проверка и вывод. Мы доказали, что для любого натурального n произведение n(2n+1)(7n+1) делится на 2 и на 3. Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, произведение делится на их наименьшее общее кратное, равное 6. Утверждение доказано.