ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 760

План решения:

Для доказательства свойств нам нужно выразить двузначные числа через их цифры. Пусть a — цифра десятков, а b — цифра единиц первого числа. Тогда второе число имеет те же цифры, но в обратном порядке: b на месте десятков и a на месте единиц. Запишем эти числа в виде алгебраических выражений, используя разрядный состав числа.

Вычисление:

1. Запишем первое число ab как сумму разрядов: ab=10a+b
2. Запишем второе число ba аналогично: ba=10b+a
3. Пункт а) . Найдем сумму этих чисел: (10a+b)+(10b+a)=10a+a+10b+b=11a+11b Вынесем общий множитель за скобки: 11(a+b) Так как сумма равна произведению натурального числа 11 на сумму цифр (a+b), то она делится на (a+b) без остатка. Следовательно, сумма кратна сумме цифр.
4. Пункт б) . Найдем разность этих чисел (предположим, что ab>ba, иначе возьмем модуль или поменяем местами слагаемые): (10a+b)-(10b+a)=10a-a+b-10b=9a-9b Вынесем общий множитель за скобки: 9(a-b) Так как разность равна произведению числа 9 на целое число (a-b), то она делится на 9 без остатка. Следовательно, разность кратна 9.

Проверка:

Возьмем конкретный пример для наглядности. Пусть число ab=52 (a=5,b=2), тогда ba=25. Сумма: 52+25=77. Сумма цифр: 5+2=7. Число 77 делится на 7 (77:7=11). Утверждение верно. Разность: 52-25=27. Число 27 делится на 9 (27:9=3). Утверждение верно.