7 класс степени Дополнительные упражнения к главе IV

ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 784: степени

Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 783 785 →

Условие

Докажите, что

а) 7¹⁶ + 7¹⁴ делится на 50

б) 5³¹ - 5²⁹ делится на 100

в) 25⁹ + 5¹⁷ делится на 30

г) 27¹⁰ - 9¹⁴ делится на 24

д) 12¹³ - 12¹² + 12¹¹ делится на 7 и на 19

е) 11⁹ - 11⁸ + 11⁷ делится на 3 и на 37.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства делимости чисел вида aⁿ±a^m или выражений с разными основаниями, приведёнными к одному основанию, будем использовать метод вынесения общего множителя за скобки. Если после вынесения в скобках остаётся целое число, то исходное выражение делится на этот общий множитель.

а) Докажем, что 7¹⁶+7¹⁴ делится на 50.

Вынесем за скобки наименьшую степень 7¹⁴:

7¹⁶+7¹⁴=7¹⁴(7²+1)

Вычислим значение в скобках: 7²+1=49+1=50.
Получаем: 7¹⁴·50. Так как один из множителей равен 50, произведение делится на 50.

б) Докажем, что 5³¹-5²⁹ делится на 100.

Вынесем за скобки 5²⁹:

5³¹-5²⁹=5²⁹(5²-1)

Вычислим значение в скобках: 5²-1=25-1=24.
Получаем: 5²⁹·24. Нам нужно проверить делимость на 100. Разложим 100 на множители: 100=4·25.
В произведении 5²⁹·24 есть множитель 5²⁹, который содержит 5²=25, и множитель 24, который делится на 4 (24=4·6). Следовательно, всё выражение делится на 25·4=100.

в) Докажем, что 25⁹+5¹⁷ делится на 30.

Приведём степени к основанию 5: 25⁹=(5²)⁹=5¹⁸.
Выражение принимает вид: 5¹⁸+5¹⁷.
Вынесем за скобки 5¹⁷:

5¹⁸+5¹⁷=5¹⁷(5+1)=5¹⁷·6

Нам нужно доказать делимость на 30. Разложим 30: 30=5·6.
В полученном произведении 5¹⁷·6 явно присутствуют множители 5 (так как 5¹⁷ делится на 5) и 6. Следовательно, произведение делится на 5·6=30.

г) Докажем, что 27¹⁰-9¹⁴ делится на 24.

Приведём степени к основанию 3: 27¹⁰=(3³)¹⁰=3³⁰, а 9¹⁴=(3²)¹⁴=3²⁸.
Выражение принимает вид: 3³⁰-3²⁸.
Вынесем за скобки 3²⁸:

3³⁰-3²⁸=3²⁸(3²-1)=3²⁸(9-1)=3²⁸·8

Нужно проверить делимость на 24. Разложим 24: 24=3·8.
В произведении 3²⁸·8 есть множитель 8 и множитель 3²⁸, который делится на 3. Значит, всё выражение делится на 3·8=24.

д) Докажем, что 12¹³-12¹²+12¹¹ делится на 7 и на 19.

Вынесем за скобки 12¹¹:

12¹³-12¹²+12¹¹=12¹¹(12²-12+1)

Вычислим значение в скобках: 12²-12+1=144-12+1=133.
Разложим число 133 на простые множители. Попробуем разделить на 7: 133:7=19. То есть 133=7·19.
Подставим обратно: 12¹¹·7·19.
Так как в разложении числа присутствуют множители 7 и 19, то исходное выражение делится и на 7, и на 19.

е) Докажем, что 11⁹-11⁸+11⁷ делится на 3 и на 37.

Вынесем за скобки 11⁷:

11⁹-11⁸+11⁷=11⁷(11²-11+1)

Вычислим значение в скобках: 11²-11+1=121-11+1=111.
Разложим число 111 на множители. Сумма цифр 1+1+1=3, значит, делится на 3: 111:3=37. То есть 111=3·37.
Подставим обратно: 11⁷·3·37.
Так как в разложении числа присутствуют множители 3 и 37, то исходное выражение делится и на 3, и на 37.

Ответ

Доказано для всех пунктов через вынесение общего множителя.

Во всех пунктах используется приём вынесения общего множителя за скобки. В пунктах в), г), д), е) требуется предварительное приведание степеней к одному основанию или простое арифметическое действие в скобках. Ключевым моментом является разложение числа, получившегося в скобках, на множители, чтобы показать наличие нужных делителей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 784 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 784?

Краткий ответ: Доказано для всех пунктов через вынесение общего множителя.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.