ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 790

План решения.

Чтобы доказать утверждение для любого целого числа, удобно рассмотреть два возможных случая: когда число является чётным и когда оно нечётным. В каждом случае мы выразим это число через переменную n, подставим в выражение «число плюс его квадрат» и проанализируем результат на чётность.

Вычисление и доказательство.

Пусть x — произвольное целое число. Нам нужно исследовать сумму S=x+x².

• Случай 1: Число x чётное. По определению, любое чётное число можно записать в виде x=2k, где k — целое число. Подставим это значение в наше выражение: S=2k+(2k)²=2k+4k² Вынесем общий множитель 2 за скобки: S=2(k+2k²) Так как k — целое число, то и выражение (k+2k²) также является целым числом. Обозначим его за m. Тогда S=2m. По определению, число, которое делится на 2 без остатка, является чётным. Значит, в этом случае сумма чётная.
• Случай 2: Число x нечётное. Любое нечётное число можно представить в виде x=2k+1, где k — целое число. Подставим это значение в выражение: S=(2k+1)+(2k+1)² Раскроем квадрат суммы по формуле сокращённого умножения (a+b)²=a²+2ab+b²: (2k+1)²=4k²+4k+1 Теперь сложим исходное число и полученный квадрат: S=(2k+1)+(4k²+4k+1) Приведём подобные слагаемые: S=4k²+6k+2 Вынесем общий множитель 2 за скобки: S=2(2k²+3k+1) Выражение в скобках (2k²+3k+1) при целом k всегда даёт целое число. Следовательно, вся сумма S делится на 2, то есть является чётным числом.

Проверка и вывод.

Мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа x: оно либо чётное, либо нечётное. В обоих случаях итоговая сумма оказалась кратной двум. Для наглядности проверим несколько примеров: если x=2 (чётное), то 2+2²=2+4=6 (чётное); если x=3 (нечётное), то 3+3²=3+9=12 (чётное). Утверждение доказано.