ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 792: Произведение многочленов

План решения:

Чтобы доказать делимость суммы степеней на число, нужно вынести общий множитель за скобки и показать, что оставшаяся часть выражения делится на требуемый делитель. В пункте а) будем использовать свойства степени числа 2, а в пункте б) — свойства степени числа 5.

Решение пункта а):

Пусть три последовательные степени числа 2 с натуральными показателями имеют вид 2ⁿ, 2ⁿ⁺¹ и 2ⁿ⁺², где n — натуральное число (n≥1).

Запишем их сумму:

Вынесем за скобки наименьшую степень 2ⁿ:

Нам нужно проверить, делится ли это выражение на 14. Разложим 14 на простые множители: 14=2·7.

В полученном произведении 2ⁿ·7 уже есть множитель 7. Так как n — натуральное число, то n≥1, значит, 2ⁿ содержит хотя бы один множитель 2. Следовательно, всё выражение делится на 2·7=14.

Проверка: Возьмём n=1. Степени: 2¹,2²,2³. Сумма: 2+4+8=14. Делится на 14. Возьмём n=2. Степени: 4,8,16. Сумма: 4+8+16=28. Делится на 14 (28:14=2). Утверждение верно.

Решение пункта б):

Пусть две последовательные степени числа 5 с натуральными показателями имеют вид 5^k и 5^k+1, где k — натуральное число (k≥1).

Запишем их сумму:

Вынесем за скобки 5^k:

Нужно проверить делимость на 30. Разложим 30 на простые множители: 30=5·6 (или 2·3·5).

В выражении 5^k·6 явно присутствует множитель 6. Также там есть множитель 5^k. Поскольку k≥1, то 5^k делится на 5. Таким образом, произведение делится на 5·6=30.

Проверка: Возьмём k=1. Степени: 5¹,5². Сумма: 5+25=30. Делится на 30. Возьмём k=2. Степени: 25,125. Сумма: 25+125=150. Делится на 30 (150:30=5). Утверждение верно.