ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 793: Произведение многочленов

В этой задаче нам нужно раскрыть скобки и упростить выражения, чтобы доказать тождественные равенства. Мы будем использовать правило умножения многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго, а затем складываем полученные произведения.

а) (x+y)(x²-xy+y²)

• Раскроем скобки:
  (x+y)(x²-xy+y²)=x·x²-x·xy+x·y²+y·x²-y·xy+y·y²
• Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями (a^m·aⁿ=a^m+n):
  =x³-x^2y+xy²+x^2y-xy²+y³
• Приведём подобные слагаемые. Заметим, что -x^2y и +x^2y взаимно уничтожаются, как и +xy² и -xy².
  =x³+(-x^2y+x^2y)+(xy²-xy²)+y³=x³+y³

б) (x-y)(x²+xy+y²)

• Раскроем скобки:
  (x-y)(x²+xy+y²)=x·x²+x·xy+x·y²-y·x²-y·xy-y·y²
• Выполним умножение:
  =x³+x^2y+xy²-x^2y-xy²-y³
• Приведём подобные слагаемые. Члены +x^2y и -x^2y сокращаются, также сокращаются +xy² и -xy².
  =x³+(x^2y-x^2y)+(xy²-xy²)-y³=x³-y³

в) (a+b)(a³-a^2b+ab²-b³)

• Раскроем скобки, умножая a и b на каждый член второй скобки:
  =a(a³-a^2b+ab²-b³)+b(a³-a^2b+ab²-b³)
• Выполним умножение:
  =a⁴-a^3b+a^2b2-ab³+a^3b-a^2b2+ab³-b⁴
• Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:
  =a⁴+(-a^3b+a^3b)+(a^2b2-a^2b2)+(-ab³+ab³)-b⁴
• Все промежуточные члены сокращаются.
  =a⁴-b⁴

г) (a-b)(a³+a^2b+ab²+b³)

• Раскроем скобки:
  =a(a³+a^2b+ab²+b³)-b(a³+a^2b+ab²+b³)
• Выполним умножение:
  =a⁴+a^3b+a^2b2+ab³-a^3b-a^2b2-ab³-b⁴
• Приведём подобные слагаемые:
  =a⁴+(a^3b-a^3b)+(a^2b2-a^2b2)+(ab³-ab³)-b⁴
• Остаются только крайние члены.
  =a⁴-b⁴

Таким образом, мы доказали все четыре тождества, показав, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаются формулы разности квадратов или суммы/разности кубов (для пунктов а и б) и разности четвёртых степеней (для пунктов в и г).