ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 799: Произведение многочленов

Для доказательства свойств сумм чисел воспользуемся методом алгебраической записи. Мы представим числа через переменную n, составим выражение для их суммы и упростим его, чтобы показать делимость на заданное число.

а) Сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5

1. Пусть первое натуральное число равно n. Тогда пять последовательных натуральных чисел можно записать как: n,n+1,n+2,n+3,n+4.
2. Найдём сумму этих чисел:
   S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
   S=n+n+1+n+2+n+3+n+4
   S=5n+(1+2+3+4)
   S=5n+10
4. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
   S=5(n+2)
5. Так как n — натуральное число, то (n+2) также является целым числом. Следовательно, произведение 5(n+2) делится на 5 без остатка. Утверждение доказано.

б) Сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8

1. Любое нечётное число можно представить в виде 2k-1 или 2k+1, где k — целое число. Для удобства возьмём первое нечётное число равным 2n-1 (где n≥1).
2. Четыре последовательных нечётных числа будут выглядеть так:
   2n-1, 2n+1, 2n+3, 2n+5
   (Заметим, что каждое следующее нечётное число больше предыдущего на 2).
3. Составим сумму этих чисел:
   S=(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)
4. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
   S=2n-1+2n+1+2n+3+2n+5
   S=(2n+2n+2n+2n)+(-1+1+3+5)
   S=8n+8
5. Вынесем общий множитель 8 за скобки:
   S=8(n+1)
6. Поскольку n — целое число, то (n+1) тоже целое. Значит, сумма S делится на 8 без остатка. Утверждение доказано.

Проверка:
В пункте а) возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5. Их сумма 1+2+3+4+5=15, что кратно 5 (15:5=3).
В пункте б) возьмём числа 1, 3, 5, 7. Их сумма 1+3+5+7=16, что кратно 8 (16:8=2). Результаты совпадают с выводами формул.