ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 805: система уравнений

Для решения задачи обозначим неизвестные величины. Пусть x см — длина прямоугольника, а y см — его ширина.

Составим систему уравнений на основе условия:

1. Периметр равен 30 см: 2(x+y)=30⇒x+y=15
2. Площадь изменилась. Изначальная площадь равна xy. Новая длина (x-3), новая ширина (y+5). Площадь уменьшилась на 8 см², значит, новая площадь равна xy-8. Уравнение: (x-3)(y+5)=xy-8

Раскроем скобки во втором уравнении и упростим его:

xy+5x-3y-15=xy-8

Вычтем xy из обеих частей и перенесем свободные члены вправо:

5x-3y=15-8

5x-3y=7

Теперь решим систему линейных уравнений:

{x+y=155x-3y=7

Из первого уравнения выразим y: y=15-x

Подставим это выражение во второе уравнение:

5x-3(15-x)=7

5x-45+3x=7

8x=52

x=52/8=6,5

Найдем ширину y:

y=15-6,5=8,5

Таким образом, длина прямоугольника равна 6,5 см, а ширина — 8,5 см.

Найдем площадь первоначального прямоугольника:

S=x·y=6,5·8,5

Вычислим произведение:

6,5·8,5=55,25 см²

Проверка:

Новая длина: 6,5-3=3,5 см.

Новая ширина: 8,5+5=13,5 см.

Новая площадь: 3,5·13,5=47,25 см².

Разница площадей: 55,25-47,25=8 см². Условие выполнено верно.