ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 807: степени

Для разложения многочленов на множители мы будем использовать метод группировки. В каждом пункте сгруппируем члены так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель за скобки, а затем получить одинаковый множитель в обеих группах.

1. а) a³-2a²+2a-4
   Сгруппируем первые два и последние два члена:
   (a³-2a²)+(2a-4)=a²(a-2)+2(a-2)
   Вынесем общий множитель (a-2):
   (a-2)(a²+2)
2. б) x³-12+6x²-2x
   Перепишем многочлен в порядке убывания степеней для удобства: x³+6x²-2x-12.
   Сгруппируем:
   (x³+6x²)-(2x+12)=x²(x+6)-2(x+6)
   Вынесем общий множитель (x+6):
   (x+6)(x²-2)
3. в) c⁴-2c²+c³-2c
   Перепишем: c⁴+c³-2c²-2c.
   Сгруппируем:
   (c⁴+c³)-(2c²+2c)=c³(c+1)-2c(c+1)
   Вынесем общий множитель (c+1):
   (c+1)(c³-2c)
   Заметим, что во второй скобке есть общий множитель c, его тоже можно вынести:
   c(c+1)(c²-2)
4. г) -y⁶-y⁵+y+y³
   Перепишем в стандартном виде: -y⁶-y⁵+y³+y.
   Сгруппируем по два члена:
   (-y⁶-y⁵)+(y³+y)=-y⁵(y+1)+y(y²+1)
   Здесь группировка не дает общего множителя сразу. Попробуем другую группировку или перестановку.
   Давайте перегруппируем как: (-y⁶+y³)+(-y⁵+y).
   -y³(y³-1)-y(y⁴-1) — это усложняет задачу.
   Вернемся к исходному порядку: -y⁶-y⁵+y³+y.
   Вынесем минус за скобку для начала: -(y⁶+y⁵-y³-y)
   Группируем внутри: (y⁶+y⁵)-(y³+y)=y⁵(y+1)-y(y²+1) — общего нет.
   Попробуем сгруппировать иначе: (y⁶-y³)+(y⁵-y)=y³(y³-1)+y(y⁴-1) — сложно.
   Еще вариант группировки для y⁶+y⁵-y³-y:
   (y⁶-y³)+(y⁵-y) не подходит.
   Давайте посмотрим внимательно на условие: -y⁶-y⁵+y+y³.
   Сгруппируем (-y⁶+y³)+(-y⁵+y).
   -y³(y³-1)-y(y⁴-1)
   Разложим разности квадратов/кубов? Нет, здесь проще попробовать другую комбинацию.
   Сгруппируем (-y⁶-y⁵)+(y³+y).
   -y⁵(y+1)+y(y²+1) — тупик.
   А если сгруппировать (-y⁶+y)+(-y⁵+y³)?
   -y(y⁵-1)-y³(y²-1) — тупик.
   Проверим еще раз условие. Возможно, опечатка в моей интерпретации порядка.
   Давайте попробуем вынести общий множитель из всех членов, если он есть. Общего нет.
   Попробуем сгруппировать так: (-y⁶+y³)-(y⁵-y).
   -y³(y³-1)-y(y⁴-1)
   -y³(y-1)(y²+y+1)-y(y²-1)(y²+1)
   -y³(y-1)(y²+y+1)-y(y-1)(y+1)(y²+1)
   Выносим -y(y-1):
   -y(y-1)[y²(y²+y+1)+(y+1)(y²+1)]
   Это слишком громоздко для 7 класса. Скорее всего, я неправильно сгруппировал изначально или условие допускает более простую группировку.
   Давайте перепишем: -y⁶-y⁵+y³+y.
   Сгруппируем первые два и последние два: -y⁵(y+1)+y(y²+1). Не работает.
   Сгруппируем первый и третий, второй и четвертый: (-y⁶+y³)+(-y⁵+y).
   -y³(y³-1)-y(y⁴-1)
   -y³(y-1)(y²+y+1)-y(y-1)(y+1)(y²+1)
   Общий множитель -y(y-1):
   -y(y-1)[y²(y²+y+1)+(y+1)(y²+1)]
   Раскроем скобки внутри:
   y⁴+y³+y²+y³+y+y²+1=y⁴+2y³+2y²+y+1
   Итого: -y(y-1)(y⁴+2y³+2y²+y+1)
   Хотя это верно, обычно в таких задачах ответ красивее. Проверю пункт «е» и другие, может быть там ошибка в условии или я упустил простую группу.
   Возможно, в условии -y⁶-y⁵+y³+y подразумевается другая группировка?
   Если бы было -y⁶-y⁵+y²+y, то -y⁵(y+1)+y(y+1)=(y+1)(y-y⁵). Но у нас y³.
   Оставим решение через сложную группировку, оно математически верное.
5. д) a²b-b²c+a²c-bc²
   Перегруппируем члены, содержащие a² и члены без него (или с c):
   (a²b+a²c)-(b²c+bc²)=a²(b+c)-bc(b+c)
   Вынесем общий множитель (b+c):
   (b+c)(a²-bc)
6. е) 2x³+xy²-2x²y-y³
   Сгруппируем члены с коэффициентом 2 и остальные:
   (2x³-2x²y)+(xy²-y³)=2x²(x-y)+y²(x-y)
   Вынесем общий множитель (x-y):
   (x-y)(2x²+y²)
7. ж) 16ab²-10c³+32ac²-5b²c
   Перегруппируем так, чтобы выделить общие множители. Заметим, что 16ab² и 32ac² имеют общий множитель 16a. А -10c³ и -5b^2c имеют общий множитель -5c.
   (16ab²+32ac²)-(10c³+5b²c)=16a(b²+2c²)-5c(2c²+b²)
   Заметим, что (b²+2c²) и (2c²+b²) — это одно и то же выражение.
   Вынесем общий множитель (b²+2c²):
   (b²+2c²)(16a-5c)
8. з) 6a³-21a²b+2ab²-7b³
   Сгруппируем первые два и последние два члена:
   (6a³-21a²b)+(2ab²-7b³)=3a²(2a-7b)+b²(2a-7b)
   Вынесем общий множитель (2a-7b):
   (2a-7b)(3a²+b²)