ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 811
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите тождества
а) (y^4 + y^3)(y2-y)=y4(y + 1)(y - 1)
б) (a^2 + 3a)(a2+3a+2)=a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
в) (a^2 + ab+b2)(a2-ab+b2)=a4+a2b^2 + b4
г) (c^4 - c2+1)(c4+c2+1)=c8+c4+1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства тождеств мы будем преобразовывать левую часть каждого равенства так, чтобы она стала идентичной правой части. Основной инструмент здесь — разложение на множители и формулы сокращённого умножения.
- Пункт а) (y4+y3)(y2-y)=y4(y+1)(y-1)
Рассмотрим левую часть. В первой скобке вынесем общий множитель y3, а во второй — y:
(y4+y3)(y2-y)=y3(y+1)·y(y-1)
Перемножим одночлены y3 и y, получаем y4. Тогда выражение примет вид:
y4(y+1)(y-1)
Это в точности совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано. - Пункт б) (a2+3a)(a2+3a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3)
Преобразуем левую часть. Из первой скобки вынесем a: a(a+3). Вторую скобку a2+3a+2 разложим на множители методом группировки или по теореме Виета (корни уравнения x2+3x+2=0 равны -1 и -2):
a2+3a+2=(a+1)(a+2)
Подставим полученные разложения обратно в произведение:
(a2+3a)(a2+3a+2)=a(a+3)(a+1)(a+2)
Сгруппируем множители в удобном порядке:
a(a+1)(a+2)(a+3)
Получили правую часть. Тождество доказано. - Пункт в) (a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=a4+a2b2+b4
Заметим, что это произведение вида (X+Y)(X-Y), если сгруппировать члены следующим образом: пусть X=a2+b2, а Y=ab. Тогда первая скобка будет (X+Y), а вторая (X-Y).
Применим формулу разности квадратов:
(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)=(a2+b2)2-(ab)2
Раскроем квадрат суммы и возведём в квадрат произведение:
(a4+2a2b2+b4)-a2b2=a4+a2b2+b4
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано. - Пункт г) (c4-c2+1)(c4+c2+1)=c8+c4+1
Аналогично предыдущему пункту, используем замену. Пусть X=c4+1, а Y=c2.
Тогда левая часть принимает вид:
((c4+1)-c2)((c4+1)+c2)=(c4+1)2-(c2)2
Раскроем скобки:
(c8+2c4+1)-c4=c8+c4+1
Получили правую часть тождества. Тождество доказано.
Тождества доказаны путём преобразования левой части к виду правой части.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 811 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 811?
Краткий ответ: Тождества доказаны путём преобразования левой части к виду правой части.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава IV. Многочлены.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.