ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 823: Квадрат суммы и квадрат разности
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать тождество
а) (a-b)2=(b-a)2
б) (-a-b)2=(a+b)2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства тождеств воспользуемся формулами сокращённого умножения: квадратом разности (x-y)2=x2-2xy+y2 и квадратом суммы (x+y)2=x2+2xy+y2. Также учтём свойство возведения в квадрат отрицательного числа: (-x)2=x2. Раскроем скобки в левой части каждого равенства и преобразуем выражение до вида правой части.
Вычисление:
а) Докажем тождество (a-b)2=(b-a)2.
- Раскроем левую часть по формуле квадрата разности: (a-b)2=a2-2ab+b2
- Раскроем правую часть по той же формуле, где первым слагаемым является b, а вторым — a: (b-a)2=b2-2ba+a2
- Так как умножение коммутативно (ba=ab), перепишем правую часть: b2-2ab+a2 Сравнивая полученные выражения, видим, что они идентичны (слагаемые просто стоят в другом порядке): a2-2ab+b2=b2-2ab+a2 Тождество доказано.
б) Докажем тождество (-a-b)2=(a+b)2.
- Рассмотрим левую часть. Вынесем минус за скобки внутри степени или раскроем по формуле квадрата суммы для двух слагаемых -a и -b. Способ 1 (вынос минуса): (-a-b)2=[-(a+b)]2=(-1)2·(a+b)2=1·(a+b)2=(a+b)2 Способ 2 (раскрытие скобок): (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b)2=a2+2ab+b2
- Раскроем правую часть по формуле квадрата суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2
- Левая и правая части равны: a2+2ab+b2=a2+2ab+b2 Тождество доказано.
Проверка:
Подставим конкретные числа, например a=3,b=5.
- Для пункта а): (3-5)2=(-2)2=4; (5-3)2=22=4. Равенство верно.
- Для пункта б): (-3-5)2=(-8)2=64; (3+5)2=82=64. Равенство верно.
а) Тождество верно, так как (a-b)2=a2-2ab+b2 и (b-a)2=b2-2ab+a2.
б) Тождество верно, так как (-a-b)2=(-(a+b))2=(a+b)2.
В пункте а) важно показать, что порядок вычитания меняет знак перед удвоенным произведением только формально при раскрытии, но итоговый многочлен симметричен относительно a и b. В пункте б) ключевой момент — квадрат отрицательного числа положителен, поэтому минус можно вынести из-под знака квадрата.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 823 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 823?
Краткий ответ: а) Тождество верно, так как (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 и (b-a)^2 = b^2-2ab+a^2. б) Тождество верно, так как (-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Квадрат суммы и квадрат разности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.