7 класс Квадрат суммы и квадрат разности § 11. Квадрат суммы и квадрат разности

ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 841: Квадрат суммы и квадрат разности

Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 840 842 →

Условие

Докажите тождество Диофанта (III в.): (a^2 + b^2)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы доказать тождество Диофанта, нам нужно раскрыть скобки в левой части равенства (a²+b²)(c²+d²) и отдельно раскрыть скобки в правой части (ac+bd)²+(ad-bc)². Затем мы сравним полученные многочлены. Если после приведения подобных слагаемых левая часть окажется равной правой, тождество будет доказано.

Вычисление:

1. Раскроем скобки в левой части (ЛЧ), используя правило умножения многочленов на многочлен:

ЛЧ =(a²+b²)(c²+d²)=a^2c²+a^2d²+b^2c²+b^2d²

2. Теперь преобразуем правую часть (ПЧ). Здесь используются формулы сокращённого умножения: квадрат суммы (x+y)²=x²+2xy+y² и квадрат разности (x-y)²=x²-2xy+y².

Раскроем первое слагаемое (ac+bd)²:

(ac+bd)²=(ac)²+2(ac)(bd)+(bd)²=a^2c²+2abcd+b^2d²

Раскроем второе слагаемое (ad-bc)²:

(ad-bc)²=(ad)²-2(ad)(bc)+(bc)²=a^2d²-2abcd+b^2c²

Сложим полученные выражения для ПЧ:

ПЧ =(a^2c²+2abcd+b^2d²)+(a^2d²-2abcd+b^2c²)

Приведём подобные слагаемые. Заметим, что +2abcd и -2abcd взаимно уничтожаются:

ПЧ =a^2c²+b^2d²+a^2d²+b^2c²

Проверка и вывод:

Сравним итоговые выражения для левой и правой частей.

ЛЧ: a^2c²+a^2d²+b^2c²+b^2d²

ПЧ: a^2c²+a^2d²+b^2c²+b^2d² (порядок слагаемых не важен).

Так как левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ

Тождество доказано

В решении последовательно раскрыты обе части равенства. В правой части важно показать, что смешанные члены 2abcd и -2abcd сокращаются, оставляя только квадраты произведений, которые совпадают с членами из левой части.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 841 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 841?

Краткий ответ: Тождество доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Квадрат суммы и квадрат разности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.