ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 851: Квадрат суммы и квадрат разности
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена
а) 81a2-18ab+b2
б) 1+y2-2y
в) 8ab+b2+16a2
г) 100x2+y2+20xy
д) b2+4a2-4ab
е) 28xy+49x2+4y2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи вспомним формулу квадрата двучлена: (a±b)2=a2±2ab+b2. Наша цель — представить каждый данный трёхчлен в виде полного квадрата. Для этого нужно найти два слагаемых, которые являются точными квадратами (это будут a2 и b2), и проверить, равно ли третье слагаемое удвоенному произведению корней из этих квадратов (2ab). Если равенство выполняется, то мы успешно преобразовали выражение.
Рассмотрим каждый пункт отдельно:
- а) 81a2-18ab+b2.
Первое слагаемое 81a2=(9a)2, последнее b2=(b)2.
Проверяем среднее слагаемое: 2·9a·b=18ab. Знак минус.
Итак, (9a-b)2. - б) 1+y2-2y.
Удобно переставить слагаемые: y2-2y+1.
y2=(y)2, 1=(1)2.
Среднее слагаемое: 2·y·1=2y. Знак минус.
Итак, (y-1)2 или (1-y)2. - в) 8ab+b2+16a2.
Переставим для наглядности: 16a2+8ab+b2.
16a2=(4a)2, b2=(b)2.
Среднее слагаемое: 2·4a·b=8ab. Знак плюс.
Итак, (4a+b)2. - г) 100x2+y2+20xy.
Переставим: 100x2+20xy+y2.
100x2=(10x)2, y2=(y)2.
Среднее слагаемое: 2·10x·y=20xy. Знак плюс.
Итак, (10x+y)2. - д) b2+4a2-4ab.
Переставим: 4a2-4ab+b2.
4a2=(2a)2, b2=(b)2.
Среднее слагаемое: 2·2a·b=4ab. Знак минус.
Итак, (2a-b)2. - е) 28xy+49x2+4y2.
Переставим: 49x2+28xy+4y2.
49x2=(7x)2, 4y2=(2y)2.
Среднее слагаемое: 2·7x·2y=28xy. Знак плюс.
Итак, (7x+2y)2.
В качестве проверки можно раскрыть полученные скобки по той же формуле сокращённого умножения и убедиться, что мы возвращаемся к исходным выражениям. Например, для пункта а): (9a-b)2=(9a)2-2(9a)(b)+b2=81a2-18ab+b2. Совпадение подтверждает правильность решения во всех случаях.
а) (9a-b)2
б) (y-1)2
в) (4a+b)2
г) (10x+y)2
д) (2a-b)2
е) (7x+2y)2
Задача тренирует навык распознавания структуры полного квадрата среди беспорядочно записанных слагаемых. Ключевой момент — правильно определить корни из крайних членов и проверить их удвоенное произведение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 851 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 851?
Краткий ответ: а) (9a-b)^2; б) (y-1)^2; в) (4a+b)^2; г) (10x+y)^2; д) (2a-b)^2; е) (7x+2y)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Квадрат суммы и квадрат разности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.