ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 862: Квадрат суммы и квадрат разности
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Разложите на множители трёхчлен
а) 4a6 – 4a^3b^2 + b4
б) b8 – a^3b^4 + 1/4 a4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для разложения на множители данных трёхчленов воспользуемся формулами сокращённого умножения. В пункте а) проверим, является ли выражение квадратом разности двух одночленов: (x-y)2=x2-2xy+y2. В пункте б) аналогично применим эту формулу, предварительно определив, какие выражения играют роль x и y, и проверив средний член.
Вычисление:
а) Рассмотрим выражение 4a6–4a3b2+b4.
- Первое слагаемое 4a6 можно представить как квадрат: (2a3)2.
- Третье слагаемое b4 — это квадрат: (b2)2.
- Проверим средний член по формуле -2xy: -2·(2a3)·(b2)=-4a3b2. Это совпадает со средним членом в условии.
Следовательно, мы имеем дело с квадратом разности:
4a6–4a3b2+b4=(2a3-b2)2б) Рассмотрим выражение b8–a3b4+1/4a4.
- Первое слагаемое b8 — это квадрат: (b4)2.
- Третье слагаемое 1/4a4 — это квадрат: (1/2a2)2.
- Проверим средний член по формуле -2xy: -2·(b4)·(1/2a2)=-a2b4.
В условии записан средний член -a3b4. Сравним его с вычисленным -a2b4. Они не равны (a3≠a2). Значит, данное выражение не является полным квадратом разности в стандартном виде, если считать условие точным. Однако, часто в таких задачах подразумевается опечатка в степени или коэффициенте. Если предположить, что в условии ошибка и средний член должен быть -a2b4, то ответ был бы (b4-1/2a2)2, что совпадает с ключом для пункта б).
Но строго по условию b8–a3b4+1/4a4 нельзя разложить на множители по формулам квадрата суммы/разности, так как средний член не подходит под формулу 2ab. Тем не менее, ориентируясь на предоставленный ключ ответа для пункта б), который предполагает результат (b4-1/2a2)2, мы видим, что автор задачи ожидал именно этот вид, допустив неточность в записи среднего члена условия (степень a должна быть 2, а не 3). Приведём решение, соответствующее логике ключа, но отметим расхождение.
Если исправить условие на b8–a2b4+1/4a4, то:
b8–a2b4+1/4a4=(b4)2-2·b4·1/2a2+(1/2a2)2=(b4-1/2a2)2Проверка:
а) Раскроем скобки в полученном произведении (2a3-b2)2:
(2a3)2-2·2a3·b2+(b2)2=4a6-4a3b2+b4 Результат совпадает с исходным выражением.б) Проверка исправленного варианта (согласно ключу):
(b4-1/2a2)2=(b4)2-2·b4·1/2a2+(1/2a2)2=b8-a2b4+1/4a4 Это подтверждает, что ключ соответствует варианту с a2 в среднем члене.а) (2a3-b2)2
б) (b4-1/2a2)2
В пункте б) условие содержит несоответствие: при степенях b8 и a4 средний член для полного квадрата должен быть -a2b4, а в условии дано -a3b4. Ключ ответа (b4-1/2a2)2 верен только для исправленного условия. Решение построено с учётом этого факта.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 862 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 862?
Краткий ответ: а) (2a^3 - b^2)^2; б) (b^4 - 12a^2)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Квадрат суммы и квадрат разности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.