ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 864: Квадрат суммы и квадрат разности
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения
а) x2+2x+2
б) 4y2 – 4y+6
в) a2+b2 – 2ab+1
г) 9x2+4 – 6xy+4y2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что выражение принимает только положительные значения, нужно преобразовать его так, чтобы выделить полный квадрат. Вспомним формулы сокращённого умножения: (a±b)2=a2±2ab+b2. Квадрат любого действительного числа неотрицателен (≥0). Если к неотрицательному числу прибавить положительное число, результат будет строго больше нуля.
Вычисление по пунктам:
- а) x2+2x+2.
Разобьём свободный член 2 на 1+1, чтобы дополнить до полного квадрата:
x2+2x+1+1=(x+1)2+1 Так как (x+1)2≥0, то (x+1)2+1≥1>0. Выражение всегда положительно. - б) 4y2-4y+6.
Заметим, что 4y2=(2y)2. Выделим полный квадрат из первых двух членов:
(2y)2-2·(2y)·1+1+5=(2y-1)2+5 Так как (2y-1)2≥0, то (2y-1)2+5≥5>0. Выражение всегда положительно. - в) a2+b2-2ab+1.
Сгруппируем первые три слагаемых — это формула квадрата разности:
(a2-2ab+b2)+1=(a-b)2+1 Так как (a-b)2≥0, то (a-b)2+1≥1>0. Выражение всегда положительно. - г) 9x2+4-6xy+4y2.
Перепишем выражение в удобном порядке и заметим, что 9x2=(3x)2 и 4y2=(2y)2. Средний член -6xy можно представить как -2·(3x)·(2y):
9x2-6xy+4y2+4=(3x)2-2·(3x)·(2y)+(2y)2+4 Свернём квадрат суммы/разности:
(3x-2y)2+4 Так как (3x-2y)2≥0, то (3x-2y)2+4≥4>0. Выражение всегда положительно.
Проверка:
Во всех случаях мы получили сумму квадрата некоторого выражения и положительного числа. Поскольку квадрат не может быть отрицательным, минимальное значение каждого исходного выражения равно константе, которую мы вынесли за скобки (1,5,1,4 соответственно). Все эти константы строго больше нуля, следовательно, доказательство верно для любых значений переменных.
Доказано путём выделения полного квадрата
а) (x+1)2+1>0
б) (2y-1)2+5>0
в) (a-b)2+1>0
г) (3x-2y)2+4>0.
Использованы стандартные приемы выделения полного квадрата. Для пункта г важно правильно сгруппировать члены, чтобы увидеть квадрат разности (3x-2y)2.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 864 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 864?
Краткий ответ: Доказано путём выделения полного квадрата: а) (x+1)^2+1>0; б) (2y-1)^2+5>0; в) (a-b)^2+1>0; г) (3x-2y)^2+4>0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Квадрат суммы и квадрат разности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.